این پرسش مانند این است که بپرسیم که چرا برای هر عددِ حقیقیِ غیرِ صفرِ $a$، $a^0 = 1$؟ در واقع ابتدا ایدهٔ اصلی را برای توان صفر توضیح میدهیم و سپس میرویم تا همین ایده را بر $0!$ پیادهسازی کنیم.
در ابتدا شاید فقط توان برای اعداد طبیعی تعریف شده بود و بعد برای اعداد دیگر مثل عدد صفر نیز تعریفش کردند. اما چگونه؟ چگونه میتوانیم مقداری برای $a^0$ تعریف کنیم؟
دنبالهٔ عددیِ نمادینِ زیر را در نظر بگیرید.
$$a, a^2, a^3, a^4, ...$$
در این دنباله، هر جمله از ضربِ جملهٔ قبلی در $a$ بهدست میآید. همچنین اگر دقت کنید مشخص است که توانِ $a$ در هر جمله، برابر با شمارهٔ جمله است. فرض کنید میخواهید برعکس پیش بروید. یعنی بهجای اینکه از $a$، به $a^2$ و جملات بالاتر با ضرب کردن بروید، بخواهید مثلاً از $a^4$ به $a^3$ و جملات پایینتر بروید. عملِ عکسِ ضرب چیست؟ میدانیم که تقسیم است. پس اگر بخواهید از $a^4$ به $a^3$ و جملات پایینتر بروید، باید تقسیم کنید. باید $a^4$ را بهجای ضرب در $a$، بر $a$ تقسیم کنید. پس با تقسیم کردن، جملهٔ قبلش را بهدست میآورید. جملهٔ قبل از $a$ یعنی جملهٔ صفرم، چیست؟ جملهٔ اول یعنی $a$ را بر $a$ تقسیم کنید تا جملهٔ قبلش یعنی جملهٔ صفرم که عدد یک است را بهدست آورید.
$$\color{red}{1}, a, a^2, a^3, a^4, ...$$
اگر یادتان باشد، گفته بودیم که همچنین توانِ $a$ در هر جمله، برابر با شمارهٔ جمله است. پس عدد یک که جملهٔ صفرم است، برابر با $a^0$ است! ...
بیایید همین را روی $0!$ نیز اجرا کنیم تا مقدار آن را تعریف کنیم. اینبار، دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:
$$1!, 2!, 3!, 4!, ...$$
در این دنباله، هر جمله از ضربِ جملهٔ قبلی در یک واحد بیشتر از شمارهٔ جملهٔ قبلی بهدست میآید. فرض کنید میخواهید برعکس پیش بروید. یعنی مثلاً میخواهید از $4!$ به $3!$ و جملات قبلتر بروید. پس باید تقسیم کنید. باید $4!$ را بر ۴ تقسیم کنید تا جملهٔ قبلش که $3!$ است را بهدست آورید. همچنین دقت کنید که وقتی این کار را میکنید از عدد فاکتوریلش یک واحد کم میشود (مثلاً همان $4!$ تبدیل به $(4-1)!$ یا همان $3!$ میشود). اکنون $1!$ را بر یک تقسیم کنید تا عدد قبلش را بهدست آورید. همانطور که گفتیم با اینکار از عدد فاکتوریلش یک واحد کم میشود. پس عدد قبلش همان $0!$ است. در نتیجه $1!÷1 = 0!$. پس $0!$ همان ۱ است!
