دقیقاً تفاوت بین "تعریف نشده" و "مبهم" در ریاضیات چیست؟

Question

می‌دانیم که اگر کسری داشته باشیم که فقط مخرجش صفر باشد، آنگاه آن کسر تعریف نشده (Undefined) است؛ مانند $\large\frac{1}{0}$. اما اگر کسری هم صورت و هم مخرجش صفر باشد یعنی کسر $\large\frac{0}{0}$، آنگاه چنین کسری مبهم (Indeterminate) است. همچنین برای نمونه، حد $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ نیز مبهم است.

اما اکنون پرسشم این است که دقیقاً تفاوت بین این دو مفهوم چیست؟ چه تفاوتی بین عبارتی که تعریف نشده است با عبارتی که مبهم است وجود دارد؟

چیزی که خودم فکر می‌کنم و به ذهنم می‌رسد این است که:

تعریف نشده (Undefined)، به این معناست که برای عبارت مورد نظر مقداری وجود ندارد و مقداری نیز برای آن تعریف نکرده‌اند.

مثلاً همین $\large\frac{1}{0}$ به این دلیل تعریف نشده است که چون هیچ مقداری وجود ندارد که در 0 ضرب شود و برابر با 1 شود و مقداری نیز برای آن تعریف نکرده‌اند. برخلاف مثلاً $\sqrt{-1}$ که مقداری برایش در $\mathbb{R}$ وجود ندارد، اما عدد موهومیِ $i$ را برایش تعریف کرده‌اند.

در مورد مبهم نیز می‌توان گفت:

مبهم (Indeterminate)، به این معناست که عبارت تعریف نشده نیست، اما بیش از یک مقدار یا پاسخِ ممکن برای آن وجود دارد و قرارداد نشده که از این مقادیر یا پاسخ‌ها کدام باید انتخاب شود.

مثلاً همین کسر $\frac{0}{0}$ به این دلیل مبهم است که چون بی‌نهایت مقدار وجود دارد که می‌تواند در صفر ضرب شود و برابر با صفر شود (از آنجایی که ضرب هر عدد در صفر برابر با صفر است) و اساساً مشخص نیست و قرارداد نشده که از این بی‌نهایت پاسخ، کدام باید برداشته شود. برخلاف مثلاً $\sqrt{4} $ که دو مقدارِ $-4$ و $4$ می‌تواند پاسخش باشد، اما قرارداد شده که به‌طور پیش‌فرض وقتی پشت رادیکال مثبت است، باید مقدار مثبت برداشته و انتخاب شود. اما مثلاً $ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ مبهم است؛ چون دو پاسخِ ممکن برای آن وجود دارد ($+\infty$ و $-\infty$) و اساساً مشخص نیست و قرارداد نشده که از این دو پاسخ، کدام باید برداشته شود. در واقع حد چپ و راست تابع با هم برابر نیست و به همین دلیل حد کلی تابع مبهم است.

اما آیا این تعاریفی که برای تعریف نشده و مبهم گفتم، درست، جامع و مانع است؟ اگر خیر، پس تعریف دقیق‌شان چیست؟

Answer 1

اگر خیلی ساده بخواهیم بنویسیم « عبارت تعریف نشده» یا مقداری برای آن وجود ندارد یا اینکه تعریفی از آن بیان نشده است. مثلا در هندسه ، «نقطه» تعریف خاصی ندارد.

اما « عبارت مبهم» همانطور که از اسمش پیداست ممکن است مقداری داشته باشد اما در مورد مقدار واقعی آن ابهام وجود دارد. بعنوان مثال تعداد مولکول نوک انگشت تان تعداد محدودی است اما مقدار آن مشخص نیست.

Answer 2

سلام در هر بخشی از ریاضیات یک مجموعه ای از فرضیات رو در نظر میگیریم و بر اساس اونها کار رو پیش میبریم مثلا یکی از اصول موضوعه در احتمالات این هستش که احتمال یک پیشامد قطعی برابر با ۱ و احتمال یک پیشامد نا ممکن عدد صفر هست . یا اینکه در هندسه اقلیدسی اینطور فرض کردیم که دو خط موازی هرگز با هم برخورد نمیکنند . کسی اینها رو اثبات نکرده و صرفا میپذیریم چنین چیزی هست و براساس اون در علم کنکاش میکنیم . حالا تعریف نشده هم داستانش همینه . کسری که مخرجش صفر باشه رو تعریف نکردیم چون همچین چیزی با یک سری از اصول پایه دیگه ای که توی ریاضیات استفاده میکنیم در تناقضه . سه مقدار غیر صفر a,bوc رو در نظر بگیر a÷b = c c×b = a ما به چنین چیزی نیاز داریم حالا اگه مقدار b رو صفر قرار بدیم و قبول کنیم که امکان پذیره اونوقت باید قبول کنیم که حاصل ضرب یک عدد غیر صفر در صفر شده یک عدد غیر صفر ! در حالیکه جای دیگه ای حاصل ضرب عدد غیر صفر در صفر رو صفر تعریف کردیم !

Answer 3

به نظر من،البته به استناد به آموخته های اندک من از بحر بیکران ریاضیات تعریف نشده به مفاهیمی اطلاق میشه که تعریف از آنها برای ذهنی سالم که ریاضیات می آموزد واضح و قابل درک است اما قابل بیان یا نوشتن نیست و تلاش برای تعریف آنها یا به دور می انجامد یا بی فایدست و تا حالا ریاضیدانی نتوانسته آنها را تعریف کند.مثل مجموعه که حتی تعریف خود کانتور هم ناقص است.در ریاضیات ما خواص این مفاهیم را درک و بررسی میکنیم.

توجه داریم $ \frac{1}{0} $ در حوزه تعریف نشده ها قرار نمی گیرند.در دامنه تعریف تقسیم به عنوان یک تابع کلاس های $[(a,0)]$ قرار نمی گیرند.

اما مبهم در ریاضیات به معنای اینه که در نگاه اول این مفاهیم عجیب و غریب به نظر میرسند اما با استدلال درستی یا نادرستی آنها مشخص می شود.مثل $Card (0,1)=CardR$ که خود کانتور حتی با وجود اینکه استدلال برایش آورده بود اولش گفت (می بینم اما باور ندارم) چون ریاضیدانان قرنها پذیرفته بودند که بنابه اصول اقلیدس جزء از کل کمتر است.اما استدلال این ابهام را رفع کرد و واضح ساخت.

یا مثلن وقتی با اعداد مختلط کار میکنیم $ \sqrt{-1} $ درنگاه اول مبهم است اما یک متعلم یا معلم زیرک ریاضی متوجه می شود که: $ \sqrt{-1} $ در واقع $ \sqrt{(-1,0)} $ است و جذر اعداد حقیقی را با اعداد مختلط اشتباه نمی گیرد.

یا مثلن برای یک دانش آموز وقتی با اعداد کار میکند $0^0$ مبهم است اما همین دانش آموز وقتی در سطح عالی با کاردینالها کار میکند به کمک تعریف و با استدلال متوجه می شود که $0^0=1$.

یا مثلن اگر معلمی به دانش آموزی بگوید که اعداد طبیعی مجموعه هستند واقعن مبهم و گیج کننده ست (گرچه مقداری از خواص این اعداد را بلد است) اما در سطح بالاتر متوجه می شویم که اعداد طبیعی واقعن به عنوان مجموعه تعریف می شوند

تعریف نشده ها از جمله مجموعه اساس ریاضیات اند و تیزبینی و خلاقیت ذهن پربار کسانی مثل چبیشف کانتور رامانوجان اویلر جان فون نویمان اوردوش و ... نمی گذارند ابهامی در ریاضیات باشد اما دیوان حافظ یا خیام یا جفری جاسر یا گوته و ... پر از ابهام است.

$ \Box $