به نام خدا.
.
ابتدا از $M$ و $A$ دو عمود بر $BC$ وارد می کنیم و نقاط بر خورد آنها را $F,G$ می نامیم. حال می توان نوشت:(برای راحتی کار فرض شده که $AM=BM=a$)
$sin(30) =\frac{MF}{a} \Longrightarrow MF= \frac{a}{2} $
$cos30= \frac{BF}{a} \Longrightarrow BF= \frac{ \sqrt{3} a}{2} $
$sin(30)= \frac{AG}{AB}= \frac{AG}{2a} \Longrightarrow AG=a$
$ \angle ACG + \angle ACB=180 \Longrightarrow \angle ACG= 45
\Longrightarrow AG=CG=a$
می توان با قضیه تالس فهمید که
$BF=FG= \frac{ \sqrt{3} a}{2} $
حال می خواهیم که اندازه $CF$ را بیابیم. می توان نوشت:
$CF=CG-FG=a- \frac{ \sqrt{3} a}{2}= \frac{a(2- \sqrt{3}) }{2} \Longrightarrow tan( \angle FMC)= \frac{CF}{FM} = \frac{\frac{a(2- \sqrt{3}) }{2}}{ \frac{a}{2} } =2- \sqrt{3} \Longrightarrow \angle CMF=15 $
پس می توان نوشت:
$ \angle CMF+ \angle MCA+ \angle ACG=90 \Longrightarrow \angle ACM=30 \Longrightarrow \angle CMB=30+15=45$
