مراکز تجانس مستقیم و معکوس دو دایرهٔ $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ و $x^2+y^2-(m+n)x+(n-m)y-31=0$ بر هم منطبق اند در این صورت حاصل $|3m-n|$ را بیابید.

Question

مراکز تجانس مستقیم و معکوس دو دایره زیر بر هم منطبق است. در این صورت حاصل $|3m-n|$ را بیابید.

$x^2+y^2-4x+2y-4=0$
$x^2+y^2-(m+n)x+(n-m)y-31=0$

Comments

دوستان لطف کنند دلیل دادن امتیاز منفی را بیان کنند. اینکار به انصاف نزدیک تر است.

---

@mahdiahmadileedari شکل اولیهٔ پستِ پرسش‌کننده به این شکل بوده‌است:
عنوان: «هندسه ۳ ممنون میشم حل کنید ممنون ممنون»
متن «مراکز تجانس مستقیم و معکوس دو دایره زیر بر هم منطبق است در این صورت حاصل |۳m-n| را بیابید
x^2+y^2-4x+2y-4=0
x^2+y^2-(m+n)x+(n-m)y-31=0»
که مشخص است مناسب نوشته نشده است. عنوان نامناسب (و پر کردن آن با تکرار ممنون برای رهایی از شرط حداقل تعداد کاراکتر)، عدم اشاره به تلاش خود یا ابهام و اشکال. فرد دیگری پست را ویرایش کرده‌است. همانطور که در پست دیگری اشاره کردم https://math.irancircle.com/25720/#c25722 بهتر است بلافاصله که پستی گذاشته می‌شود آن را ویرایش نکرد، بلکه دیدگاهی برای پرسش‌کننده گذاشت که عنوان مشکل دارد و تلاش خود را اشاره نکردید و دو سه روز به پرسش‌کننده زمان داد تا دید که اقدام به ویرایش می‌کند یا خیر و گر نه پرسش‌کننده ممکن است به روش پرسش نوشتنش به همان شکل قبلی ادامه دهد و شانس این را پیدا نکند که بداند نحوهٔ پرسش پرسیدنش اشتباه است. @Dana_Sotoudeh
من به چیزی که خودِ صاحب اولیهٔ پست انجام می‌دهد امتیاز می‌دهم نه به چیزی که ویرایش‌گر به جای او انجام داده‌است. بنابراین پست تا جایی که @محمدقادری نوشته‌بودند دارای امتیاز منفی است. برخی امتیاز منفی‌ها واضح هستند.

---

میشه سریعتر حل بشه لطفا یا حتی در حد یه راهنمایی خیلی ممنون

---

@AmirHosein سپاس بیکران از این همه لطف. من قبلا پیشنهادی داده بودم مبنی بر درج دلیل امتیاز منفی. چون برخی مواقع مبهم است. اما تشویق ها معمولا دلیلش مشخص تر است. امیدوارم این امر مانند یک قانون جا بیفتد.

---

خب من تلاشمو کردم نتونستم حل کنم که پرسیدم برادر ممنون های زیادی هم که گفتم و عجله ای که داشتم هم بخاطر این نبود که این سوال مثلا تکلیفی چیزیه صرفا برای حل.لطفا میشه راهنمایی کنند دوستان

Answer 1

فرض میکنیم $A$ و $A'$ مرکز های دو دایره هستند طبق تعریف تجانس مستقیم میداین $O$ بین $A$ و $A'$ است همچنین طبق تعریف تجانس معکوس فرض میکنیم $A$ بین $A'$ و $O$ است در این حالت چنین ترتیبی پدید می آید:

$A O A'$

$O A A'$

طول های $OA$ ، $OA'$ و $AA'$ ثابت هستند اما اگر داشته باشیم $OA\ne0$ ، طول $AA'$ یکیار کمتر و یک بار بیشتر از $'OA$ خواهد بود پس $A$ بر $O$ منطبق بوده و از آنجا که $A$ و $A'$ نسبت به $O$ متجانس هستند هر سه منطبق بر یک نقطه اند. در حالتی که $A'$ بین $A$ و $O$ باشد نیز این امر صادق است پس اثبات کردیم در هر شرایطی مرکز دو دایره بر مرکز تجانس منطبق است.

حال میدانیم فرمول دایره به صورت $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ است که از سمت راست شعاع و از سمت چپ مرکز دایره یعنی نقطه $(a,b)$ مشخص میشود. از آنجا که دو دایره هم مرکزند کافیست ضرایب x و y در دو معادله برابر باشد یعنی $-(m+n)=-4$ و $n-m=2$ که نتیجه میدهد $n=3$ و $m=1$ بنابراین $|3m-n|=0$