ثابت کنید که برای هر عدد حقیقی $a$، برابریِ $x^3+ax+\sin x=1$ دارای پاسخ حقیقی است.

Question

فرض کنید $a$ یک عدد حقیقی است. با کمک قضیه‌های بخش حد و پیوستگی حساب و دیفرانسیل و انتگرال ثابت کنید که عدد حقیقیِ $x_0$ای می‌توان یافت که با جایگذاری‌اش به جای $x$ در برابریِ زیر، برابری برقرار شود.

$$x^3+ax+\sin x=1$$

Comments

@nilafor لطفا سوال را تایپ کنید و عنوان سوال را نیز اصلاح کنید.

Answer 1

برای هر عدد $a$ داریم $\lim_{x\to-\infty}x^3+ax+\sin{x}-1=-\infty$ و $\lim_{x\to\infty}x^3+ax+\sin{x}-1=\infty$ با توجه به اینکه تابع $f(x)=x^3+ax+\sin{x}-1$ بر $\Bbb{R}$ پیوسته است، بنابر قضیه بولزانو، $x_0\in\Bbb{R}$ هست که $f(x_0)=0$.