چندجمله ای درجهٔ سهٔ $p(x)$ را به گونه ای بیابید که $p(7)=6$، $p(8)=7$، $p(9)=8$ و $p(10)=10$.

Question

اگر $p(x)$ یک چندجمله‌ای درجهٔ 3 باشد با این شرایط که $p(7)=6$، $p(8)=7$، $p(9)=8$ و $p(10)=10$، در این صورت مقدار $p(11)$ کدام گزینه است؟

1. 11
2. 12
3. 13
4. 14

تلاش برای حل: با توجه به فرم چندجمله ای درجه 3 و جایگذاری مقادیر داده شده به یک دستگاه چهار معادله چهار مجهول می رسم که ضرایب بزرگ هستند و امکان حل نیست!!!

Comments

@behruz برای مرجع، دادهٔ بیشتری وارد کنید تا به طور یکتا قابل پیداشدن باشد. آیا این یک آزمون کشوری است یا برای مدرسهٔ خاصی است یا در کتاب خاصی چاپ شده‌است؟

Answer 1

می‌توانید از ایده‌های دیگرِ داده‌شده در درس آنالیز عددی ۱ کارشناسی برای درونیابی استفاده کنید. ولی از آنجا که گفتید پایهٔ نهم، احتمالا دنبال راه حلی هستید که نیاز به دانستن مطالب آنالیز عددی نباشد. چرا از انتقال استفاده نمی‌کنید؟ انتقال ماهیت شکل هندسی را تغییر نمی‌دهد. داده‌هایی که دارید را بیایید در یک جدول نمایش دهیم.

$$\begin{array}{c|c} x & y=p(x)\\ \hline 9 & 8\\ 8 & 7\\ 7 & 6\\ 10 & 10\\ \hline 11 & ? \end{array}$$

یک عدد خوب که میان مقدارهای داده‌شده برای $x$ است بردارید، به نظر من دو گزینهٔ خوب هستند ۸ و ۹ و برای $y$ها هم همینطور که در اینجا به نظر من بهترین گزینه ۸ است. هدف این است که پس از انتقال به این اندازه، عددها کوچکتر شوند که محاسبهٔ دستی/ذهنی با آنها ساده‌تر شود. من برای هر دو ۸ را برمی‌دارم. پس یک انتقال که مبدأ مختصات را به نقطهٔ $(8,8)$ جابجا می‌کند پیاده می‌کنم. چه می‌شود؟ خواهیم داشت $X=x-8$ و $Y=y-8$ که $X$ و $Y$ درازا و پهنا (طول و عرض) صفحهٔ مختصات جدید هستند. نقطه‌های داده‌شده به ما و در جدول بالایمان به شکلِ زیر به‌روز می‌شوند.

$$\begin{array}{c|c} X & Y=q(x)\\ \hline 1 & 0\\ 0 & -1\\ -1 & -2\\ 2 & 2\\ \hline 3 & ? \end{array}$$

توجه کنید که به جای $p$ از $q$ استفاده کردم چون ضابطهٔ چندجمله‌ایِ تعریف‌کنندهٔ شکل هندسی‌تان تغییر پیدا خواهد کرد، ولی مهم اینجاست که هنوز یک چندجمله‌ایِ درجهٔ ۳ خواهد ماند. اکنون دستگاهی برابری-مجهول‌هایی که خودتان هم اشاره داشتید را ولی برای $q$ بنویسید.

$$\left\lbrace\begin{array}{l} a+b+c+d=0\\ d=-1\\ -a+b-c+d=-2\\ 8a+4b+2c+d=2 \end{array}\right.$$

که با حل آن دارید $a=\frac{1}{6}$، $b=0$، $c=\frac{5}{6}$ و $d=-1$. پس $q(x)=\frac{1}{6}x^3+\frac{5}{6}x-1$ و نیازی هم نیست که تغییر متغیر انجام شده را به صورت وارون بر روی این چندجمله‌ای اثر دهید تا ضابطهٔ $p(x)$ را بیابید. توجه کنید که چون $q(3)=6$ و $p(11)=p(3+8)$ باید داشته باشیم $p(11)=6+8=14$. پس پاسخ ۱۴ است.

Answer 2

واضح است که p(x)=x-1 فقط در سه شرط اول صدق می کند، برای اینکه در شرط چهارم هم صدق کند چند جمله ای زیر معرفی می کنیم

$$P(x)=x-1+c(x-7)(x-8)(x-9)$$ حال کافی است c را طوری بیابیم که در شرط چهارم صدق کند $$P(10)=9+c(3)(2)(1) \Rightarrow c= \frac{1}{6}$$ در نتیجه داریم $$P(11)=10+\frac{1}{6}(4)(3)(2) \Rightarrow P(11)=10+4=14$$

Answer 3

به نام خدا.

فرض می کنیم که $p(x)= ax^3+bx^2+cx+d$

حال می توان نوشت:

$p(9) - p(8)= 8-7=1 = 9^3a + 9^2b + 9c +d - 8^3a-8^2b-8c-d=a(9^3-8^3)+b(9^2-8^2)+ c= a(9-8)(9^2+9 \times 8+ 8^2) + b(9-8)(9+8)+c= a(9^2+9 \times 8+ 8^2) + 17b+c \Longrightarrow 274a + 17b +c = 1$

$p(8) - p(7) = 7-6 = 1 = 8^3a + 8^2 b + 8c +d - 7^3a- 7^2b -7b -d \Longrightarrow 169a + 15b +c = 1$

$p(10) - p(9) = 10-8= 2 = 10^3a + 10^2b +10c+d - 9^3a - 9^2a -9c -d \Longrightarrow 271a + 19b + c = 2$

پس اکنون سه معادله داریم که دارای سه مجهول است:

$274a + 17b +c = 1$

$169a + 15b +c = 1$

$271a + 19b + c = 2$

به راحتی می توان نتیجه گرفت که $a= \frac{1}{6} , \space b= -4 , \space c = \frac{197}{6}$ برای راحتی حل حاصل عبارت $p(11)-p(10)$ را محاسبه می کنیم تا نیازی برای بدست اوردن $d$ نباشد.

$p(11)- p (10) = a(11^3 - 10^3) + b (11^2 - 10^2) + c = \frac{1}{6} (331) - 84 + \frac{197}{6} = 88-84=4 \Longrightarrow p(11) = 4 + 10= 14$