کنکور ریاضی $93$سوال $3$

Question

اگر $ f(x)=1-(\frac{1}{2})^x $ باشد، دامنه ی تابع $ y=\sqrt{x.f(x)} $ کدام بازه است؟

1. $ [-1, 1] $
2. $ (-\infty, 0) $
3. $(-\infty, \infty) $
4. $ (0, \infty) $ .

Answer 1

ابتدا دامنه و برد تابع $f(x)=1-(\frac{1}{2})^x$ را محاسبه کرده و در نهایت با توجه به این موضوع که برای یافتن دامنه توابع رادیکالی با فرجه زوج باید عبارت زیر رادیکال را بزرگتر مساوی صفر قرار داده ($x.f(x) \geq 0$) و با استفاده از جدول تعیین علامت برای حل نامعادله به جواب رسید :

$D_f = ( -\infty , +\infty )$ (چون دامنه توابع نمایی در حالت کلی کلیه اعداد حقیقی است ) .

$R_f = ( -\infty ,+1)$ (با استفاده از روش انتقال تابع نمایی با پایه کمتر از یک می توان به راحتی تابع f را ترسیم کرد و برد آن را یافت ) .

خوب با نگاهی به نمودار تابع f به راحتی می توان آن را در جدول ، تعیین علامت کرد و حاصل نامعادله ($x.f(x) \geq 0$) را پیدا کرد (مطابق شکل زیر) : پس مطابق جدول تعیین علامت جواب نامعادله کلیه اعداد حقیقی می باشد و گزینه 3 جواب سوال می باشد .

Answer 2

روش علی کنکوری:

صفر رو در عبارت قرار میدیم حاصل زیر رادیکال صفر میشه که قبوله لذا صفر تو دامنه قرار داره پس گزینه های 1 یا 3 درستند. حال عدد $2$رو قرار میدیم مقدار $ f(x) $ برابر $ 1- \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $ میشود لذا زیر رادیکال عددی مثبت میشه پس $2$تو دامنه قرار داره یعنی گزینه 3 جواب مساله است.

Comments

جالب بود. علی کنکوری کیه؟!

---

کسی که در دهه های 1330 تا 1350 بیش از 10 15 بار کنکور داده  و در کنکور های آخر فرمول هاوروش های کنکوری زیادی رو اورده

Answer 3

تعریف کنید $g(x)=xf(x)=x-x2^{-x}$. داریم $g'(x)=1-2^{-x}+(\ln 2)x2^{-x}$. اگر $x< 0$ آنگاه چون $2^{-x}>1$ داریم

$$(1-2^{-x}) < 0,\;(x) < 0,\;\big((\ln 2)2^{-x}\big) > 0\Longrightarrow g'(x)=(1-2^{-x})+(x)\big((\ln 2)2^{-x}\big) < 0$$

اگر $x>0$ آنگاه چون $2^{-x}< 1$ داریم

$$(1-2^{-x})>0,\;(x)>0,\;\big((\ln 2)2^{-x}\big)>0\Longrightarrow g'(x)=(1-2^{-x})+(x)\big((\ln 2)2^{-x}\big)>0$$

چون $g(0)=0$ پس از اینکه پیش از این نقطه مشتق منفی است (تابع کاهشی است) نتیجه می‌گیریم که تابع پیش از $x=0$ مثبت است، به همین شکل از اینکه پس از این نقطه مشتق مثبت است (تابع افزایشی است) نتیجه می‌گیریم که تابع پس از $x=0$ نیز مثبت است. پس ثابت کردیم که تابع زیر رادیکال یعنی $g(x)$ بر روی کل $\mathbb{R}$ نامنفی است. این ثابت می‌کند که دامنهٔ $y=\sqrt{x\cdot f(x)}$ تمام اعداد حقیقی است، پس گزینهٔ جیم درست است.