اصل لانه کبوتری یا شمول و عدم شمول

Question

قرار است از طریق یک کانال ارتباطی پیامی مرکب از ۱۲ نماد مختلف ارسال شود. علاوه براین ۱۲نماد دستگاه فرستنده روی هم ۴۵ فاصله ی خالی را نیز بین نمادها ارسال می کند به طوری که بین هر جفت از نمادهای متوالی حداقل سه فاصله وجود دارد. دستگاه فرستنده به چند طریق می تواند چنین پیامی را ارسال کند؟

Answer 1

$12$ نماد متمایز به $12!$ حالت می‌توانند جایگیری کنند و بین هر دو نماد متوالی حداقل $3$ فاصله ( که نامتمایز هستند) قرار دارد در کل $45-3\cdot 11 =12$ فاصله باقی می‌ماند که به ${22 \choose 12} $ ( حالات توزیع چند شی نامتمایز در چند جعبه متمایز ) حالت می‌توانند بین حروف قرار بگیرند. پس تعداد حالات کل برابر $12! \cdot {22 \choose 12}$ است.