به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
408 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Ali8899 (4 امتیاز)

پینگ پونگ بازی ۷۷ روز تا مسابقه دارد او هر روز بازی می کند و مجموع بازی هایش در این ۷۷ روز ۱۳۲ شده‌ ثابت کنید تعداد روزی مشخص وجود دارد که مجموع بازی هایش ۲۱ می شود.

توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
@Ali8899 لطفاً عنوان سوال را متناسب با سوال بنویسید

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط

فرض کنید پینگ‌پونگ‌باز در $x$ روز، مجموع بازی‌هایش $y$ باشد.

از آنجایی که پینگ‌پونگ‌باز در هر روز حداقل یک بازی انجام می‌دهد، پس $y ≥ x$.

از طرفی، مجموع بازی‌هایش در ۷۷ روز برابر با ۱۳۲ است، بنابراین:

$y1 + y2 + ... + y77 = 132$

حالا فرض کنید پینگ‌پونگ‌باز در $x$ روز، مجموع بازی‌هایش ۲۱ باشد؛ یعنی:

$y + (21 - y) = x$

با جایگذاری مقدار $x$ در فرمول اول:

$y ≥ x$

$y1 + y2 + ... + y77 = 132$

داریم:

$y1 + y2 + ... + y(x-1) ≥ x-1$

$y(x+1) + ... + y77 ≥ 131 - x$

جمع دو عبارت بالا:

$y1 + y2 + ... + y77 ≥ 130$

بنابراین، حداقل مجموع بازی‌های پینگ‌پونگ‌باز در ۷۷ روز برابر با ۱۳۰ است. اما چون مجموع بازی‌های پینگ‌پونگ‌باز در ۷۷ روز برابر با ۱۳۲ است، پس حداقل یک روز وجود دارد که مجموع بازی‌هایش ۲۱ است. بنابراین، حکم مسئله ثابت شد.

0 امتیاز
توسط Silap (1 امتیاز)

حل این سوال با لانه کبوتری تعمیم یافته بسیار ساده است. چون ۱۳۲ بازی داریم و ۷۷ روز، پس روزی پیدا می‌شود که در آن حداکثر ۱ بازی انجام شده که صفر بازی نمی‌تواند باشد، پس دقیقا ۱ بازی انجام داده شده. (برای درک بهتر فرض خلف کنید که هر روز حداقل ۲ بازی انجام داده است، در این صورت در جمع حداقل ۱۴۴ بازی رخ داده که تناقض است) به طور مشابه این روند را ادامه دهید (یعنی مثلا در بار دوم ۱۳۱ بازی و ۷۶ روز، بار سوم ۱۳۰ بازی و ۷۱ روز و ... بار ۲۱ام ۱۱۲ بازی و ۵۷ روز و همچنان حداقل ۱ روز وجود دارد که در آن دقیقا یک بازی رخ داده) و حکم به راحتی اثبات می‌شود.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...