اثبات وجود یک خاصیت در16 عدد طبیعی کوچکتر یا مساوی 100

Question

ثابت کنید در میان هر 16 عدد متمایز طبیعی که از صد بیشتر نیستند چهار عدد متمایز مانند a, b, c, d وجود دارد که a+b=c+d

Answer 1

بدون اینکه کلیت مساله تغییر کند، فرض می کنیم a>b , c>d باشد.

پس برای درستی رابطه باید : a-d=c-b باشد. یعنی دو جفت عدد هستند که اختلاف آنها با هم برابر است.

از طرفی می دانیم اختلاف بین هر جفت عدد کوچکتر از صد، عددی بین 1 تا 98 است.

حال اگر 16 عدد متمایز داشته باشیم و اختلاف هر جفت از آنها را بدست آوریم 120 عدد خواهیم داشت.

یعنی 22=98-120 جفت عدد با اختلاف تکراری داریم.

اما هنوز نمیتوان گفت که این جفت های با اختلاف تکراری، مطلوب مساله را برآورده میکنند. زیرا ممکن است اعدادی که اختلاف تکراری دارند مثلا (a,b) و (a,c) باشند. همانطور که می بینیم در این دو جفت عدد a مشترک است و این دو جفت فقط از سه عدد متمایز تشکیل شده است. در حالیکه در مساله چهار عدد متمایز ذکر شده بود.

از طرفی میدانیم هر عدد فقط با دو عدد بیشتر و کمتر از خود می تواند اختلافی تکراری داشته باشد. پس 6=16-22 جفت عدد میماند که دارای اختلاف تکراری و اعداد متمایزند.

و درستی مساله ثابت میشود.

Comments

در پاسخ خود کتاب تنها 104 حالت از این 120 حالت رو تایید میکرد ولی من استدلالش رو متوجه نشدم

---

درسته الان متوجه شدم اصلاح میکنم.