کنکور ریاضی $93$ سوال $5$

Question

حاصل عبارت $ \frac{t^{11}+t^{10}+t^{9}+...+t+1}{t^9+t^6+t^3+1}$ به ازای $ t=\frac{-1+\sqrt5}{2} $ کدام است؟

1. $ 2 $
2. $3 $
3. $4 $
4. $ 5 $ .

Comments

اینکه گزینه هاش 2 تاش تکراریه؟؟؟؟؟؟؟؟؟

---

ممنون ویرایش کردم.

Answer 1

با ضرب صورت و مخرج در $t-1 $ داریم:

$$ \frac{(t-1)(t^{11} + ...+1)}{(t^{3}+1)(t^{6}+1)(t-1)}= \frac{(t^{12} -1)}{(t^{3}+1)(t^{6}+1)(t-1)} $$ $$=\frac{(t^{6}-1)(t^{6}+1)}{(t^{3}+1)(t^{6}+1)(t-1)}= t^{2}+t+1 = 2 $$

رابطه ی بالا، پس از چند مرتبه ساده کردن صورت و مخرج به دست می آید.

Answer 2

می توان چند جمله ای $t^{11}+t^{10}+t^{9}+...+t+1$ دنباله هندسی با جمله اول 1 و قدر نسبت t و چند جمله ای $t^9+t^6+t^3+1$ را دنباله هندسی با جمله اول 1 و قدر نسبت $t^3$ در نظر گرفت آنگاه صورت و مخرج را به صورت مجموع جملات دنباله های هندسی نوشت : $\frac{ \frac{1 \times (1-t^{12})}{1-t} }{ \frac{1 \times (1-t^{12})}{1-t^3} }= \frac{1-t^3}{1-t} = \frac{(1-t)(1+t+t^2)}{1-t}=1+t+t^2=2 $

بنابراین گزینه 1 درست است .