اگر یک عدد$n$ رقمی در یک عدد $m$ رقمی ضرب شود حاصل آن حداکثر چند رقمی است؟

Question

اگر دو عدد $m$و$n$ رقمی در هم ضرب شوند حاصل حد اکثر یک عددچند رقمی خواهد بود؟ برخی از پرسش ها را نمی توان تشخیص داد که با چه روشی قابل حل است.

Comments

@mahdiahmadileedari دو عدد دو رقمی مثل $10$ و $11$ حاصل ضربشان یک عدد سه رقمی است و حاصل ضرب دو عدد دو رقمی مثل $99$ و $99$ یک عدد چهار رقمی است. پس پاسخ شما یکتا نیست. به نظرم می شود اینگونه پرسید که :« حاصل ضرب دو عدد $m$ و $n$ رقمی حداکثر چند رقمی می باشد.» مثلاً حداکثر تعداد رقم های حاصل ضرب دو عدد دو رقمی عددی چهار رقمی  است.

---

@mahdiahmadileedari و @Elyas1 : با درود. این سؤال دارای کمینه و بیشینه است. در مثال زیر  و هر جفت عدد دیگر داریم:
$100×1000=100,000 \Longrightarrow m+n-1$
$999×9999=9,989,001 \Longrightarrow m+n$
همانطور که میبینیم با هر جفت عدد m,n رقمی، حاصلضربشان حداقل $m+n-1$ رقم و حداکثر $m+n$ رقم خواهد بود. البته اثباتی هم دارد که بطور جداگانه پاسخ خواهم داد. تندرست و پیروز باشید.

Answer 1

به نام خدا.

دو عدد را طوری در نظر می گیریم که همه ارقام آن از $9$ تشکیل شده باشد. حال به نامساوی زیر دقت کنید :( هر اندیس نشان دهنده تعداد دفعات تکرار شده عدد تکراری می باشد.)

$999...9_{m} × 999...9_{n} > 9000...0_{m-1} × 9000...0{n-1}=81×10^{m+n-2}$

عدد $81 ×10^{m+n-2}$ دارای $m+n$ رقم است. پس حاصل ضرب فوق باید تعداد رقم های بیشتر مساوی $m+n$ داشته باشد. اکنون یک نامساوی جدید می نویسیم:

$999...9_{m} × 999...9_{n} < 10^m × 999...9_{n}$

عدد $10^m × 999...9_{n}$ دارای $m+n$ رقم است.

پس اگر دو عدد $m$ رقمی و $n$ رقمی در هم ضرب شوند، حاصل آنها حداکثر می تواند یک عدد $m+n$ رقمی باشد.

Comments

@Elyas1 : پاسخی متفاوت ولی شایسته توجه است. 1+

Answer 2

کوچکترین عدد $x$ رقمی را با نماد min(x) و بزرگترین را با نماد max(x) منظور میکنیم. بدین‌ترتیب داریم:

$(I)\quad min(x)=10^{x-1}$

$(II)\quad max(x)=10^x-1$

برای اینکه حاصلضرب یک جفت عدد $m$ و $n$ رقمی حداقل باشد، باید هردو از نوع $(I)$ باشند. بنابراین داریم.

$10^{m-1}×10^{n-1}=10^{m+n-2}$

همانطور که می‌بینیم، چون پایه همسان است، توانها باهم جمع میشوند که میشود $m+n-2$ . اما چون مجموع توانها فقط صفرها را میشمارد و عدد $1$ در سمت چپ دوعدد را نادیده میگیرد، بنابراین یک واحد به مجموع توانها باید اضافه شود که تعداد ارقام حاصله را بدست دهد. پس تعداد ارقام در سمت راست پایین بدینصورت خواهد بود.

$min(m)×min(n) \Longrightarrow m+n-1$

---

برای اینکه حاصلضرب یک جفت عدد $m$ و $n$ رقمی حداکثر باشد، باید هردو از نوع $(II)$ باشند. بنابراین داریم.

$(10^m-1)(10^n-1)=10^{m+n}-10^m-10^n+1$

در سمت راست معادله فوق، عدد $10^{m+n}$ دارای $m+n+1$ رقم است و اگر حتی یک واحد از آن کم شود، تعداد ارقام آن نیز یک واحد کم خواهد شد. بنابراین چون مقادیر ناچیز دو جمله بعدی از آن کم شده ، از تعداد ارقام ذکر شده یک واحد کم میشود. افزایش یک واحد آخر تأثیری بر تعداد ارقام حاصله نخواهد داشت. بنابراین تعداد ارقام در سمت راست پایین بدینصورت خواهد بود:

$max(m)×max(n) \Longrightarrow m+n$