کوچکترین عدد $x$ رقمی را با نماد min(x) و بزرگترین را با نماد max(x) منظور میکنیم. بدینترتیب داریم:
$(I)\quad min(x)=10^{x-1}$
$(II)\quad max(x)=10^x-1$
برای اینکه حاصلضرب یک جفت عدد $m$ و $n$ رقمی حداقل باشد، باید هردو از نوع $(I)$ باشند. بنابراین داریم.
$10^{m-1}×10^{n-1}=10^{m+n-2}$
همانطور که میبینیم، چون پایه همسان است، توانها باهم جمع میشوند که میشود $m+n-2$ . اما چون مجموع توانها فقط صفرها را میشمارد و عدد $1$ در سمت چپ دوعدد را نادیده میگیرد، بنابراین یک واحد به مجموع توانها باید اضافه شود که تعداد ارقام حاصله را بدست دهد. پس تعداد ارقام در سمت راست پایین بدینصورت خواهد بود.
$min(m)×min(n) \Longrightarrow m+n-1$
برای اینکه حاصلضرب یک جفت عدد $m$ و $n$ رقمی حداکثر باشد، باید هردو از نوع $(II)$ باشند. بنابراین داریم.
$(10^m-1)(10^n-1)=10^{m+n}-10^m-10^n+1$
در سمت راست معادله فوق، عدد $10^{m+n}$ دارای $m+n+1$ رقم است و اگر حتی یک واحد از آن کم شود، تعداد ارقام آن نیز یک واحد کم خواهد شد. بنابراین چون مقادیر ناچیز دو جمله بعدی از آن کم شده ، از تعداد ارقام ذکر شده یک واحد کم میشود. افزایش یک واحد آخر تأثیری بر تعداد ارقام حاصله نخواهد داشت. بنابراین تعداد ارقام در سمت راست پایین بدینصورت خواهد بود:
$max(m)×max(n) \Longrightarrow m+n$