اگر $\lbrace 5^{2x}, 3×25^{x}, 5^{y}, \dots\rbrace$ و $\lbrace x, 2, y, \dots\rbrace$ دو دنبالهٔ حسابی باشند، $xy$ چند است؟

Question

اگر دو دنبالهٔ زیر دنباله‌های حسابی باشند، آنگاه مقدار $xy$ را بیابید.

$$\lbrace 5^{2x}, 3×25^{x}, 5^{y}, \dots\rbrace$$ $$\lbrace x, 2, y, \dots\rbrace$$

1. ۲
2. ۶
3. ۱۲
4. ۳

Comments

@Delni8 به جای ارسال پست جدید، بر روی علامت مداد زیر  پست اصلی کلیک کنید و سپس تغییرات مورد نظر را اعمال نمائید.
https://math.irancircle.com/26474

Answer 1

با توجه به اینکه دنباله‌ها حسابی هستند؛ فاصله هر دو جمله متوالی برابر قدر نسبت دنباله است.

با توجه به دنباله اول:

$$\begin{align} 5^{2x}+5^y&=6×5^{2x}\\ 5^y&= 5^{2x+1}\\ \implies y&=2x+1 \end{align}$$

و با توجه به دنباله دوم:

$$x+y=4$$

الآن یک دستگاه دو معادله دو مجهولی داریم:

$$\begin{cases}y=2x+1 & \\ x+y=4 & \end{cases}$$

که نتیجه می‌دهد:

$$x=1\ ,\ y=3\implies xy=3$$