Question

5 معلم و ۳ دانش آموز به چند طریق می‌توانند در یک ردیف بایستند به طوری که هیچ دو دانش آموزی در کنار هم نایستند؟!

۱) ۳! * 5!

۲) ۶!

۳) ۲۰ * 5!

۴) ۲۰ * ۶!

حل من :

      کل - نامطلوب = مطلوب

دو دانش آموز را در یک بسته قرار دادم و دانش آموز دیگر را کنار ۵ معلم:

۸! - (۲! * ۷! )

Answer 1

به دو روش حل می کنم.

1. روش مستقیم که ساده تر است ابتدا انجام می دهم ابتدا 5 معلم به $5! $ می توانند کنار هم قرار گیرند واضح است که دانش آموز باید بین معلم ها یا ابتدا و انتهای معلم ها(اول یا آخر) قرار گیرند یعنی 6 مکان برای 3 نفرشان ممکنه بنابراین

$$ \binom{6}{3}5!*3!=20*6! $$

2. روش غیر مستقیم(مکمل) همان روش طراح سوال، در این روش حالاتی در نظر می گیریم که جواب مسئله نیست و از کل $8! $ کم می کنیم. بنابراین تعداد حالاتی که حداقل دو نفر از 3 دانش آموز کنار هم هستند در نظر می گیریم. انتخاب دو نفر از 3 نفر به سه حالت می باشه از طرفی در هر حالت، هم ممکنه سه نفر کنار هم باشند بنابراین به شیوه زیر حل می کنیم $$8!-( \binom{3}{2} 2!7!-3!6!)=20*6! $$ شیوه کاملتر آن اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه می باشه.

Comments

amir7788@ پاسخ اولتان را چک کنید !5  یا !6 ؟

---

عدد 3فاکتوریل حذف شده جواب درسته، در پیش نمایش درست می باشه اما اینجا درست نشان نمی ده حق با شماست. سعی در رفع کردنش دارم شاید مشکل  از ضعیف بودن اینترنت می باشه. تصحیح شد.