چرا $l^{2}$ هیلبرت است؟

Question

چرا $l^{2}$ کامل است؟ برای اثبات هیلبرت بودن فضا ضرب داخلی تعریف کردم و نشان دادیم خوش تعریف است. و بعد نرم تعریف کردیم. حال باید ثابت کنیم کامل است تا بتوان هیلبرت بودن این فضا را نشان داد.

Answer 1

اگر $l^2$ را به عنوان یک فضای باناخ بپذیرید کافی است که یک ضرب داخلی روی آن به صورت زیر تعریف شود: $$<f,g>:=\big(\int{f\overline{g}}dz\big)^\frac{1}{2}$$ توجه کنید که نرم بدست آمده از روی این ضرب داخلی برابر است با $$||f||=<f,f>=\big(\int{|f|^2}dz\big)^\frac{1}{2}$$ منابع زیادی در این زمینه وجود دارد که می توانید استفاده کنید به عنوان مثال آنالیز تابعی کانوی یا مقدمه ای بر آنالیز تابعی کریزیگ