اگر $f$ و $g$ تابع هایی یک به یک باشند، آنگاه آیا جمع و ضرب و تقسیم آن دو نیز یک به یک خواهد بود؟

Question

اگر $f$ و $g$ تابع‌هایی یک به یک باشند، آنگاه آیا $f+g$ و $f\cdot g$ و $\frac{f}{g}$ نیز تابع‌هایی یک به یک خواهند بود؟

تلاش من: من برای هر سه حالت مثال نقض پیدا کردم. آیا راه‌حل درست است؟

1. $f+g$

مثال نقض می‌سازیم. تابع‌ها را به شکل رابطه‌ای می‌نویسیم.

$$\begin{align} f &= \lbrace (1,2),(2,1)\rbrace\\ g &= \lbrace (1,1),(2,2)\rbrace \end{align}$$

آنگاه داریم:

$$f+g=\lbrace (1,3),(2,3)\rbrace$$

که تابعی یک به یک نیست.

2. $f\cdot g$

برای این مورد هم مانند سوال بالا مثال نقض می‌زنیم. قرار دهید $f(x)=g(x)=x$ آنگاه ضربشان $x^2$ که یک‌به‌یک نیست می‌شود.

3. $\frac{f}{g}$

مثال نقض: تعریف کنید

$$\begin{align} f &= \lbrace (1,2),(2,4)\rbrace\\ g &= \lbrace (1,3),(2,2)\rbrace \end{align}$$

آنگاه

$$\frac{f}{g}=\lbrace (1,2),(2,2)\rbrace$$

که تابعی یک به یک نیست.

Comments

@Soliw زمانی که هدف یادگیری است، صرفا یکی از این سه را می‌پرسند و سپس با پاسخی که دریافت می‌کنید، تلاش می‌کنید که دو تای دیگر را خودتان حل کنید. و اگر هنوز برایتان ممکن نبود، تلاش جدیدتان را می‌افزائید و می‌گوئيد که از فلان پاسخ فلان ایده را برای حل فلان حالت گرفتم و فلان و فلان کردم ولی به بن‌بست خورد. و سپس دیگران راهنمایی‌تان می‌کنند. نه اینکه تمام موردها را اینجا بگذارید تا پاسخ‌ها را کپی-پیست کنید.
بر روی علامت مداد سمت چپ زیر پرسش‌تان کلیک کنید و حداقل چند خط به تلاش و فکر خودتان که تا حالا انجام داده‌اید اشاره کنید تا مشخص شود که در کجا مشکل دارید تا پاسخ مناسب با مشکل‌تان را دریافت کنید و همینطور معلوم شود که بدون هیچ فکری متن را اینجا کپی نکرده‌اید.

---

@Soliw «جواب سوالمو گرفتم» دلیل مناسبی برای بستن پست نیست!

---

@Soliw برای آشنایی با نوشتنِ عبارت‌های ریاضی به پست‌های زیر نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/52
https://math.irancircle.com/56

Answer 1

با سلام.

در هر سه مثال نقض‌تان مشکلی دیده نمی‌شود. فقط مورد دوم، قسمتی که ضرب دو تابع مد نظر است، اگر به متفاوت بودن دو تابع اصرار داشته‌باشید آنگاه یک مثال دیگر را می توانید با کمکِ کسرها بسازید. به طور مثال ضرب دو عددِ $3$ و $\frac{1}{3}$ برابر یک است. اکنون مثالِ قسمت اول‌تان را به این شکل می‌توانید به یک مثال برای قسمت دوم تغییر دهید.

$$\begin{align} f &= \lbrace (1,3),(1,5)\rbrace\\ g &= \lbrace (1,\frac{1}{3}),(2,\frac{1}{5})\rbrace \end{align}$$

هر دو تابعِ $f$ و $g$ یک‌به‌یک هستند و دو تابعِ متمایز هستند ولی ضرب آن دو برابر با تابع ثابتِ یک بر روی دامنه‌اش می‌شود که یک‌به‌یک نیست.

Comments

@Ghanoon خط آخرتان روشن نیست، چه مشکلی و در کجا هست؟

---

برای مثال نقضی که در مورد‌ دوم گفته بودند نوشتم.
به دلیل نامگذاری مختلف دو تابع ممکن است ضابطه ی آن ها یکسان در نظر گرفته نشود. به خاطر همین مثال نقضی نوشتم که دو تابع برابر نباشند.

---

@Ghanoon متمایز بودن نمادها الزاما متمایز بودن مقدارهایشان را نتیجه نمی‌دهد. بنابراین ایراد شمرده نمی‌شود، به جای اینکه بگوئید ممکن است ایراد باشد، می‌توانید بگوئید «مثال با دو تابع نابرابر هم وجود دارد». من برایتان پاسخ‌تان را ویرایش کردم. سعی کنید معمولا کمی بیشتر بنویسید و چیزی که می‌خواهید بگوئید از روی متن مشخص شود. به هر حال ۱+ به پاسخ‌تان.