اگر $f$ و $g$ تابع‌هایی یک به یک باشند، آنگاه آیا $f+g$ و $f\cdot g$ و $\frac{f}{g}$ نیز تابع‌هایی یک به یک خواهند بود؟
تلاش من: من برای هر سه حالت مثال نقض پیدا کردم. آیا راه‌حل درست است؟
- $f+g$
مثال نقض می‌سازیم. تابع‌ها را به شکل رابطه‌ای می‌نویسیم.
\begin{align}
f &= \lbrace (1,2),(2,1)\rbrace\\
g &= \lbrace (1,1),(2,2)\rbrace
\end{align}
آنگاه داریم:
$$f+g=\lbrace (1,3),(2,3)\rbrace$$
که تابعی یک به یک نیست.
- $f\cdot g$
برای این مورد هم مانند سوال بالا مثال نقض می‌زنیم. قرار دهید $f(x)=g(x)=x$ آنگاه ضربشان $x^2$ که یک‌به‌یک نیست می‌شود.
- $\frac{f}{g}$
مثال نقض: تعریف کنید
\begin{align}
f &= \lbrace (1,2),(2,4)\rbrace\\
g &= \lbrace (1,3),(2,2)\rbrace
\end{align}
آنگاه
$$\frac{f}{g}=\lbrace (1,2),(2,2)\rbrace$$
که تابعی یک به یک نیست.
