ثابت کنید نقاط مرزی boundary دایرهٔ تو پُر، extreme (منتهی الیه / پایانی / انتهایی) هستند.

Question

در کتابی که در مرجع آمده‌است، دایرهٔ تو پُر، یعنی مجموعهٔ نقطه‌های داخل دایره و روی محیط دایره با هم، به عنوان نمونه‌ای از یک مجموعهٔ محدب که هر نقطهٔ مرزی‌اش، نقطهٔ انتهایی نیز است آورده‌شده‌است. بخش نخست ادعا یعنی محدب بودن روشن است. اما بخش دوم را نمی‌دانم چگونه اثبات کنم. پس پرسش من این است:

ثابت کنید نقطه‌های مرزیِ دایرهٔ تو پُر به شعاع یک، انتهایی (منتهی‌إلیه extreme) هستند.

یک نقطه را انتهایی می‌گوئیم هر گاه نتوان آن را به شکل ترکیب محدبی از دو نقطهٔ دیگرِ آن مجموعه بنویسیم.

Comments

بله برنامه ریزی غیرخطی.در درست بودن این جمله هیچ شکی نیست.شهودا واضحه که تمام نقاط مرزی s گوشه ایه ولی میخوام به صورت تحلیلی اثبات بشه.یعنی یک عضو دلخواه از مجموعه نقاط مرزی s در نظر بگیریم بعد این نقطه رو برابر ترکیب خطی دو نقطه s قرار بدیم بعد ثابت کنیم این سه نقطه باهم برابرند

---

من درحال حاضر برنامه ریزی غیر خطی رو نگذروندم ولی از یکی از اساتید سوال کردم,ایشون گفتن که این جمله که تمام نقاط مرزی دایره,گوشه ای هستن,درست نیست!

---

obviously this set is a convex set and every point on the circumference of the circle i.e every boundary point is an extreme point.
این جمله کتاب برنامه ریزی خطی.حالا معلوم نیست استادتون چه طور میگه غلطه درحالیکه درستیش بدیهیه.  

---

لطف بفرمایید اسم کتاب و نویسندش رو قرار بدین.
لطفا این ها رو به صورت دیدگاه قرار بدین نه پاسخ.ممنون

---

شما متن انگلیسی رو سرچ کنین کتابش تو گوگل بوک میاد.
اسم کتاب برنامه ریزی خطی گوپتا و دیگران

Answer 1

دایرهٔ تو پُرِ با شعاع یک و مرکز مبدأ مختصات (در صورت داشتن مرکز دیگری می‌توان بدون کاستن از کلیت با یک انتقال فرض کرد که مرکز دایره مبدأ نختصات است) را با $C$ نمایش دهید. یعنی $$C=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leq 1\rbrace$$ پس برای یک نقطه مانند $A$ شرط عضویت در $C$ برابر است با $|OA|\leq 1$ که $O$ مرکز مختصات و منظور از $|v|$ برای یک بردار (یا پاره‌خط) $v$، اندازهٔ این بردار (پاره‌خط) است. روی مرز (محیط)-ِ $C$ بودن برابر می‌شود با $|OA|=1$ و درونِ $C$ بودن برابر می‌شود با $|OA|< 1$. اکنون حکمی که شما می‌خواهید این است که هیچ دو نقطهٔ $A$ و $B$ ای عضو $C$ که $A\neq B$ وجود ندارند که $\lambda A+(1-\lambda)B$ که $\lambda\in (0,1)$ روی مرز دایره بیفتد. برای اثبات نخست مقدار $\lambda$ را از بازهٔ $(0,1)$ دلخواه انتخاب و سپس ثابت در نظر بگیرید. اکنون نقطه‌های $\lambda A$، $(1-\lambda)B$ و $\lambda A+(1-\lambda)B$ را به ترتیب با $M$ و $N$ و $P$ نشان دهید. ویژگی‌های درازا (طول) جمع دو بردار و ضرب‌اسکالری یک بردار را به یاد آورید. فرض کنید $\alpha$ یک عدد حقیقی و $u$ و $v$ دو بردار باشد، آنگاه $$|\alpha v|=|\alpha||v|\;,\;0\leq |u+v|\leq |u|+|v|$$ که تساویِ $|u+v|= |u|+|v|$ تنها زمانی روی می‌داد که زاویهٔ بین دو بردار $u$ و $v$ برابر با صفر باشد. اکنون برگردیم به کار اصلی‌مان. نخست توجه کنید که $OP=OM+ON$. پس $|OP|=|OM+ON|$. سپس توجه کنید که بردارهای $OM$ و $ON$ به ترتیب بر روی خط امتداد یافتهٔ بردارهای $OA$ و $OB$ هستند. پس زاویهٔ $\widehat{MON}$ برابر با زاویهٔ $\widehat{AOB}$ است. دو حالت در نظر می‌گیریم.

حالت یکُم: $\widehat{AOB}\neq 0$ در این حالت: $$0\leq |OM+ON|< |OM|+|ON| = \lambda |OA| + (1-\lambda) |OB| \leq \lambda (1) + (1-\lambda) (1)=1$$ پس نابرابریِ اکیدِ $|OP|< 1$ را داریم که نتیجه می‌دهد $P$ درون $C$ می‌افتد و مرزی نیست.

حالت دوم: دو نقطهٔ $A$ و $B$ در امتداد یک شعاع یکسان از دایرهٔ $C$ هستند. چون فرض کردیم این دو نقطه متمایز هستند پس هر دو با هم نمی‌توانند مرزی باشند، در نتیجه دست‌کم برای یکی از آنها درازا باید کمتر اکید از ۱ باشد. داریم: $$|OM+ON|= |OM|+|ON| = \lambda |OA| + (1-\lambda) |OB| < \lambda (1) + (1-\lambda) (1)=1$$ پس در این حالت نیز به نامساوی اکید و نتیجهٔ یکسان رسیدیم.