$$\int \frac{ \sqrt{x} }{1- \sqrt[3]{x} }dx$$ را حل کنید .

Question

انتگرال زیر را حل کنید (راهنمایی از تغییر متغیر $x=u^6$) تغییر متغیر این انتگرال به چه صورت است؟؟

$$\int \frac{ \sqrt{x} }{1- \sqrt[3]{x} }dx$$

Comments

با این تغییر متغیر مشکلی حل نمی شود احتمالا جای x و U را اشتباه نوشتید. با تغییر متغیر$  x=U^6
$می توان انتگرال بدست آورد.

---

@Nico تایپ ریاضی را بیشتر تمرین کنید

Answer 1

ک.م.م فرجه ها برابر $6$ است. برای حذف رادیکالها از تغییر متغیر $$x=u^6$$ استفاده می کنیم. داریم$$dx=6u^5du$$لذا انتگرال مذکور برابر است با$$ \int \frac{6u^8du}{1+u^2} $$ با کمک تقسیم چند جمله ای خواهیم داشت$$ \int \frac{6u^8du}{1+u^2} = \int 6(u^6-u^4+u^2-1+ \frac{1}{1+u^2} )du$$که برابر است با $$6( \frac{u^7}{7} - \frac{u^5}{5} + \frac{u^3}{3}-u+Arctg u)+c $$ حال باید تغییر متغیر را اعمال کنیم.$$u=x^{ \frac{1}{6} }$$ و ساده نماییم. $$6(x \frac{\sqrt[6]x}{7} - \frac{\sqrt[6]x^5}{5}+ \frac{\sqrt x}{3} -\sqrt[6]{x } +Arctg\sqrt[6]x)+c$$

Comments

@mahdiahmadileedari علامت ها خیلی ایراد دارند مثلا به مخرج توجه کنید