$\int\frac{\sqrt{x⁴+1}}{4x^3}dx$ را حساب کنید.

Question

انتگرال زیر چگونه حل می‌شود؟

$$\int\frac{\sqrt{x⁴+1 }}{4x^3}dx$$

با تغییر متغیر فکر کنم بشه چون مشتق $u= x⁴+1$ توی مخرج هست. خب این طوری $du$ هم باید تو مخرج بزاریم. اما این من را سردرگم کرده‌است. لطفا راهنمایی کنید.

Comments

M.SH@لطفا تایپ ریاضی را بیاموزید و سوال را درست تایپ کنید

---

M.SH @mahdiahmadileedari@  $4x^3$داخل رادیکاله؟

---

x³ در مخرج نوشته شده و در صورت رادیکال x⁴+1 هست.
با تغییر متغیر x⁴+1  میشه u
و مخرج رو میشه با ضرب و تقسیم ۴ و ۱/۴ حل کرد.
ولی مشکل اینه که du میره تو مخرج . چه طور حل میشه؟؟؟

---

با تغییر متغییر $x^2=tant    $ قابل حل می باشد

Answer 1

تغییر متغیر زیر را ایجاد می کنیم $$x^2 =tanu \Rightarrow 2xdx=(1+tan^2u)du$$ $$\int \frac{ \sqrt{x^4+1} }{4x^3} dx= \frac{1}{8} \int \frac{1}{sin^2 ucosu} du= \frac{1}{8} \int ( \frac{cosu}{sin^2u} + \frac{1}{cosu})du = \frac{-1}{8sinu} + \frac{1}{8} ln\mid tan( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} )\mid+C $$ در نهایت با جاگذاری $ u=tan^{-1}(x^2) $ به جواب نهایی می رسید.