به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
159 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط M.SH (282 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

با سلام. انتگرال $\int dx/(x^3+1 )$ چگونه حل می‌شود؟ من با استفاده از روش کسر های جزئی حل کردم اما به مشکل خوردم. اول بااستفاده از اتحاد چاق و لاغر مخرج رو به صورت $(x+1)(x^2-x+1)$ نوشتم و با استفاده از همین روش کسرهای جزیی دو کسر نوشتم که به صورت $ A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1) $ نوشتم و $A=1/3$ و $B=-1/3$ و $C=2/3$ به دست آوردم و می دونم که انتگرال کسر اول میشه $1/3\ln(x+1)$. اما انتگرال کسر دوم که هست $ \frac{-1}{3} \int (x-2)/(x^2-x+1)dx$ رو نمی دونم چه طور حل کنم. شاید بشه دوباره از همین کسرهای جزیی استفاده کرد، چون درجه صورت از مخرج کمتر هست، اما مطمئن نیستم، راهنمایی ام کنید که چه طور حل کنم. ممنونم.

توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+2
@M.SH : با درود به دوست گرامی. نرم افزارهای maple و symbolab تحت اندروید را امتحان کردم. حل کامل آنرا بصورت آنلاین با روش کسرهای جزئی و جایگزینی ارائه میدهند. اَپهای malmath و  solve equation آنرا بصورت آفلاین حل میکنند. بتازگی با نرم افزار Wolfram Alpha که همان mathematica تحت اندرویده، آشنا شدم که در نوع خودش بی نظیره و مسائل رو بصورت آنلاین حل میکنه. پاسخ استاد @استاد کیوان عباس زاده هم عالیه. با تشکر از همه دوستان که محیط آموزشی سودمندی فراهم کرده اند. با آرزوی موفقیت تندرستی.
توسط M.SH (282 امتیاز)
+1
خیلی ممنونم از راهنمایی تون. تشکر

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,034 امتیاز)
انتخاب شده توسط M.SH
 
بهترین پاسخ

ابتدا باید کسر $ \ \frac{1}{ x^{3}+1 } $ را به کسرهای جزئی تفکیک کنیم . برای این کار ابتدا مخرج یعنی $ x^{3} +1$ را با استفاده از اتحاد چاق و لاغر تجزیه می کنیم که میشود $ x^{3} +1=(x+1)( x^{2} -x+1)$ . حال باید اعداد $A$ و $B$ و $C$ را طوری بیابیم که :

$ \frac{1}{x^{3} +1}= \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C }{ x^{2} -x+1} $

بعداز مخرج مشترک گیری از سمت راست تساوی بالا و کمی ساده کردن به تساوی زیر خواهیم رسید :

$\frac{1}{x^{3} +1}= \frac{(A+B) x^{2} +(B+C-A)x+A+C}{x^{3} +1} $

مخرج دو طرف تساوی برابر هستند پس صورت ها باید برابر باشند یعنی :

$1=(A+B) x^{2} +(B+C-A)x+A+C$

در اینجا یک اتحاد داریم زیرا به ازای جمیع مقادیر متغیر $x$ این تساوی برقرار است پس باید ضرایب جملات متشابه در دو طرف تساوی برابر باشند در نتیجه :

$A+B=0$
$B+C-A=0$
$A+C=1$

بعد از حل این این دستگاه 3 معادله مقادیر $A$ و $B$ و $C$ عبارتند از :

$A= \frac{1}{3} $ و $B= \frac{-1}{3} $ و $C= \frac{2}{3} $

بنابراین :

$\frac{1}{x^{3} +1}= \frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1} $

حال می توانیم انتگرال را حل کنیم :

$ \int \frac{1}{x^{3} +1}dx = \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1})dx= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx $

تکلیف انتگرال $\int \frac{1}{x+1}dx$ مشخص است زیرا $\int \frac{1}{x+1}dx=Ln \mid x+1 \mid$ .برای محاسبه انتگرال $\int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx $ به صورت زیر عمل می کینم :

$\int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx = \int ( \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }- \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }) dx=\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx- \int \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx $

برای حل انتگرال $\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx$ کافی است قرار دهیم $u=x- \frac{1}{2} $ . انتگرال به صورت $\int \frac{u }{ u ^{2} + \frac{3}{4} }du$ در می آید . حال قرار دهید $v= u^{2} $ . انتگرال به صورت $ \frac{1}{2} \int \frac{1}{ v + \frac{3}{4} }dv $ در می آید که حاصل آن برابر $ \frac{1}{2} Ln \mid v+ \frac{3}{4} \mid $ است حال به جای $v$ قرار می دهیم $ u^{2} $ ‌و به جای$ u$ قرار می دهیم $x- \frac{1}{2} $ پس :

$\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx= \frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid $

برای حل انتگرال $\int \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx$ نیز قرار دهید $u=x- \frac{1}{2}$ . انتگرال به صورت $\int \frac{ \frac{3}{2} }{u ^{2} + \frac{3}{4} } du$ در می آید . در مخرج از عدد $ \frac{3}{4} $ فاکتور میگیریم و آنرا به همراه $ \frac{3}{2} $ صورت از انتگرال بیرون می آوریم و انتگرال به صورت $ 2\ \int \frac{ 1}{( \frac{ 2 }{ \sqrt{3} } u) ^{2} + 1 } du$ در می آید . حال قرار دهید $v= \frac{ 2} { \sqrt{3} } u$ . انتگرال به صورت $\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } 2 \int \frac{ 1}{v^{2} + 1 } dv$ در می آید که حاصل آن برابر است با $ \sqrt{3} Arctan(v)$ . به جای$v$ قرار می دهیم $\frac{ 2 }{ \sqrt{3} } u$ و به جای$u$ قرار می دهیم $x- \frac{1}{2} $ پس :

$\int \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx= \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))$

پس داریم :

$\int \frac{x-1}{x^{2} -x+1}dx = \int ( \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }+ \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }) dx=\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx+ \int \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx$

$=\frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid + \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))$

بنابراین :

$\int \frac{1}{x^{3} +1}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1})dx= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-1}{x^{2} -x+1}dx= \frac{1}{3}Ln \mid x+1 \mid - \frac{1}{3}(\frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid + \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))) $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...