ابتدا باید کسر $ \ \frac{1}{ x^{3}+1 } $ را به کسرهای جزئی تفکیک کنیم . برای این کار ابتدا مخرج یعنی $ x^{3} +1$ را با استفاده از اتحاد چاق و لاغر تجزیه می کنیم که میشود $ x^{3} +1=(x+1)( x^{2} -x+1)$ . حال باید اعداد $A$ و $B$ و $C$ را طوری بیابیم که :
$ \frac{1}{x^{3} +1}= \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C }{ x^{2} -x+1} $
بعداز مخرج مشترک گیری از سمت راست تساوی بالا و کمی ساده کردن به تساوی زیر خواهیم رسید :
$\frac{1}{x^{3} +1}= \frac{(A+B) x^{2} +(B+C-A)x+A+C}{x^{3} +1} $
مخرج دو طرف تساوی برابر هستند پس صورت ها باید برابر باشند یعنی :
$1=(A+B) x^{2} +(B+C-A)x+A+C$
در اینجا یک اتحاد داریم زیرا به ازای جمیع مقادیر متغیر $x$ این تساوی برقرار است پس باید ضرایب جملات متشابه در دو طرف تساوی برابر باشند در نتیجه :
$A+B=0$
$B+C-A=0$
$A+C=1$
بعد از حل این این دستگاه 3 معادله مقادیر $A$ و $B$ و $C$ عبارتند از :
$A= \frac{1}{3} $ و $B= \frac{-1}{3} $ و $C= \frac{2}{3} $
بنابراین :
$\frac{1}{x^{3} +1}= \frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1} $
حال می توانیم انتگرال را حل کنیم :
$ \int \frac{1}{x^{3} +1}dx = \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1})dx= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx $
تکلیف انتگرال $\int \frac{1}{x+1}dx$ مشخص است زیرا $\int \frac{1}{x+1}dx=Ln \mid x+1 \mid$ .برای محاسبه انتگرال $\int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx $ به صورت زیر عمل می کینم :
$\int \frac{x-2}{x^{2} -x+1}dx = \int ( \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }- \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }) dx=\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx- \int \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx $
برای حل انتگرال $\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx$ کافی است قرار دهیم $u=x- \frac{1}{2} $ . انتگرال به صورت $\int \frac{u }{ u ^{2} + \frac{3}{4} }du$ در می آید . حال قرار دهید $v= u^{2} $ . انتگرال به صورت $ \frac{1}{2} \int \frac{1}{ v + \frac{3}{4} }dv $ در می آید که حاصل آن برابر $ \frac{1}{2} Ln \mid v+ \frac{3}{4} \mid $ است حال به جای $v$ قرار می دهیم $ u^{2} $ و به جای$ u$ قرار می دهیم $x- \frac{1}{2} $ پس :
$\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx= \frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid $
برای حل انتگرال $\int \frac{ \frac{3}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx$ نیز قرار دهید $u=x- \frac{1}{2}$ . انتگرال به صورت $\int \frac{ \frac{3}{2} }{u ^{2} + \frac{3}{4} } du$ در می آید . در مخرج از عدد $ \frac{3}{4} $ فاکتور میگیریم و آنرا به همراه $ \frac{3}{2} $ صورت از انتگرال بیرون می آوریم و انتگرال به صورت $ 2\ \int \frac{ 1}{( \frac{ 2 }{ \sqrt{3} } u) ^{2} + 1 } du$ در می آید . حال قرار دهید $v= \frac{ 2} { \sqrt{3} } u$ . انتگرال به صورت $\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } 2 \int \frac{ 1}{v^{2} + 1 } dv$ در می آید که حاصل آن برابر است با $ \sqrt{3} Arctan(v)$ . به جای$v$ قرار می دهیم $\frac{ 2 }{ \sqrt{3} } u$ و به جای$u$ قرار می دهیم $x- \frac{1}{2} $ پس :
$\int \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx= \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))$
پس داریم :
$\int \frac{x-1}{x^{2} -x+1}dx = \int ( \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }+ \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }) dx=\int \frac{x- \frac{1}{2} }{ (x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} }dx+ \int \frac{ \frac{1}{2} }{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + \frac{3}{4} } dx$
$=\frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid + \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))$
بنابراین :
$\int \frac{1}{x^{3} +1}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1} + \frac{ \frac{-1}{3} x+ \frac{2}{3} }{ x^{2} -x+1})dx= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{3} \int \frac{x-1}{x^{2} -x+1}dx= \frac{1}{3}Ln \mid x+1 \mid - \frac{1}{3}(\frac{1}{2} Ln \mid (x- \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{3}{4} \mid + \sqrt{3} Arctan( \frac{ 2}{ \sqrt{3} } (x- \frac{1}{2} ))) $
