به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
412 بازدید
در دانشگاه توسط Hosseinjal80 (14 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

گفته‌اند انتگرال $\int (\sec x)^{3}{\rm d}x$ را با روش جزء به جزء حل کنید. من خودم اومدم تفکیک کردمش و به توان ۲ ضربدر توان ۱ نوشتم ولی نتونستم ادامه بدهم.

مرجع: ریاضی ۱ فصل انتگرال گیری به روش جز به جز

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mdardah (1,636 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

بنام خدا.برای پیدا کردن این انتگرال ابتدا نیاز به انتگرال secx داریم بنابراین

$$ \int secxdx= \int secx( \frac{secx+tanx}{secx+tanx} )dx= \int \frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx$$

$$ \bbox[ 5pt, border:4px solid red] { \int secxdx=ln(secx+tanx)+c }(1) $$

چون مشتق secx مساوی secxtanx و مشتق tanx مساوی $sec^2x$ میشود یعنی مشتق مخرج در صورت قرار داردبنابراین جواب انتگرال مساوی لگاریتم مخرج میشودبنابرفرمول$ \int \frac{ u' }{u} du=lnu$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \int ( \frac{1}{cosx} )( \frac{1}{cos^2x} )dx$$

$ \begin{cases}\frac{1}{cosx}=u \Rightarrow \frac{sinx}{cos^2x}dx=du \\ \frac{1}{cos^2x}dx=dv \Rightarrow v=tanx\end{cases} $

$$ \int udv=uv- \int vdu=secxtanx- \int \frac{tanxsinx}{cos^2x}dx$$

$$=secxtanx- \int \frac{sin^2x}{cos^3x}dx=secxtanx- \int \frac{1-cos^2x}{cos^3x}dx$$

$$ =secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx $$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx$$

حال اگررابطه (1)راجایگذاری کنیم دراین صورت:

$$2 \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx+ln(secx+tanx)+c$$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \frac{1}{2} secxtanx+ \frac{1}{2} ln(secx+tanx)+ c_{1} $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...