بنام خدا.برای پیدا کردن این انتگرال ابتدا نیاز به انتگرال secx داریم بنابراین
$$ \int secxdx= \int secx( \frac{secx+tanx}{secx+tanx} )dx= \int \frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx$$
$$ \bbox[ 5pt, border:4px solid red]
{
\int secxdx=ln(secx+tanx)+c
}(1)
$$
چون مشتق secx مساوی secxtanx و مشتق tanx مساوی $sec^2x$ میشود یعنی مشتق مخرج در صورت قرار داردبنابراین جواب انتگرال مساوی لگاریتم مخرج میشودبنابرفرمول$ \int \frac{ u' }{u} du=lnu$
$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \int ( \frac{1}{cosx} )( \frac{1}{cos^2x} )dx$$
$ \begin{cases}\frac{1}{cosx}=u \Rightarrow \frac{sinx}{cos^2x}dx=du \\\\ \frac{1}{cos^2x}dx=dv \Rightarrow v=tanx\end{cases} $
$$ \int udv=uv- \int vdu=secxtanx- \int \frac{tanxsinx}{cos^2x}dx$$
$$=secxtanx- \int \frac{sin^2x}{cos^3x}dx=secxtanx- \int \frac{1-cos^2x}{cos^3x}dx$$
$$ =secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx $$
$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx$$
حال اگررابطه (1)راجایگذاری کنیم دراین صورت:
$$2 \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx+ln(secx+tanx)+c$$
$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \frac{1}{2} secxtanx+ \frac{1}{2} ln(secx+tanx)+ c_{1} $$
