به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+2 امتیاز
533 بازدید
در دانشگاه توسط Hosseinjal80 (14 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

گفته‌اند انتگرال $\int (\sec x)^{3}{\rm d}x$ را با روش جزء به جزء حل کنید. من خودم اومدم تفکیک کردمش و به توان ۲ ضربدر توان ۱ نوشتم ولی نتونستم ادامه بدهم.

مرجع: ریاضی ۱ فصل انتگرال گیری به روش جز به جز

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط mdardah (1,636 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

بنام خدا.برای پیدا کردن این انتگرال ابتدا نیاز به انتگرال secx داریم بنابراین

$$ \int secxdx= \int secx( \frac{secx+tanx}{secx+tanx} )dx= \int \frac{sec^2x+secxtanx}{secx+tanx}dx$$

$$ \bbox[ 5pt, border:4px solid red] { \int secxdx=ln(secx+tanx)+c }(1) $$

چون مشتق secx مساوی secxtanx و مشتق tanx مساوی $sec^2x$ میشود یعنی مشتق مخرج در صورت قرار داردبنابراین جواب انتگرال مساوی لگاریتم مخرج میشودبنابرفرمول$ \int \frac{ u' }{u} du=lnu$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \int ( \frac{1}{cosx} )( \frac{1}{cos^2x} )dx$$

$ \begin{cases}\frac{1}{cosx}=u \Rightarrow \frac{sinx}{cos^2x}dx=du \\\\ \frac{1}{cos^2x}dx=dv \Rightarrow v=tanx\end{cases} $

$$ \int udv=uv- \int vdu=secxtanx- \int \frac{tanxsinx}{cos^2x}dx$$

$$=secxtanx- \int \frac{sin^2x}{cos^3x}dx=secxtanx- \int \frac{1-cos^2x}{cos^3x}dx$$

$$ =secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx $$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx- \int \frac{1}{cos^3x}dx + \int \frac{1}{cosx}dx$$

حال اگررابطه (1)راجایگذاری کنیم دراین صورت:

$$2 \int \frac{1}{cos^3x} dx=secxtanx+ln(secx+tanx)+c$$

$$ \int \frac{1}{cos^3x} dx= \frac{1}{2} secxtanx+ \frac{1}{2} ln(secx+tanx)+ c_{1} $$

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...