انتگرال $\int \frac{dx }{( x^3+1)}$را محاسبه کنید.

Question

سلام.این انتگرال چه طور حساب میشه؟ $$\int \frac{dx }{( x^3+1)}$$

چه طور با کسر های جزئی بنویسم.؟؟؟ باید یک کسر بنویسم یا چند تا؟

Answer 1

البته شرایط تجزیه کسرها در حالات مختلف متفاوت است و باید آن را مطالعه کنید اما در اینجا:

$$ \frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}=\frac{(A+B)x^2+(B+C-A)x+A+C}{x^3+1} $$

با مقایسه صورت کسرهای دو طرف

$$ \begin{cases}A+B=0\\B+C-A=0\\A+C=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A= \frac{1}{3} \\B= \frac{-1}{3}\\C= \frac{2}{3}\end{cases} $$

با جایگزینی این مقادیربه جای $A,B,C$در بالا

$$ \int \frac{1}{x^3+1}dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x- \frac{1}{2})^2+( \frac{ \sqrt{3} }{2})^2 }dx $$ $$\color{red}{=\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{6}ln(x^2-x+1)+\frac{ \sqrt{3} }{3} tan^{-1}| \frac{2x-1}{\sqrt{3}}|+c} $$

Comments

سلام  جناب good4us@
با عذرخواهی فراوان خط قبل از خط قرمز و خط اخر قرمز رنگ  نیازی به نوشتن انتگرال اخر نیست .

---

fesmaeili.t@ متوجه مطلب شما نشدم و خطایی نمی بینم

---

@good4us احتمالا @fesmaeili.t متوجه نشده‌اند که کسر دوم پیش از کادر که صورتش $Bx+C$ بوده‌است را به دو قسمت جدید تفکیک کرده‌اید.

---

عذرخواهی می کنم جناب  good4us@ من جایی در راه حل هنگام فاکتورگیری از صورت کسر به جای نوشتن 2 عدد 1 رو نوشته بودم که تصحیح کردم.