$$ \int _0^1 \frac{1}{ \sqrt{1- x^{n} } }dx= \frac{ \sqrt{ \pi } }{n} \frac{ \Gamma ( \frac{1}{n} )}{ \Gamma ( \frac{1}{n} + \frac{1}{2} )} $$

Question

مطلوب است اثبات انتگرال معین زیر: $$ \int _0^1 \frac{1}{ \sqrt{1- x^{n} } }dx= \frac{ \sqrt{ \pi } }{n} \frac{ \Gamma ( \frac{1}{n} )}{ \Gamma ( \frac{1}{n} + \frac{1}{2} )} $$

Answer 1

با تغییر متغیر $x = u^{\frac{1}{n}}$ داریم:

$\displaystyle I= \frac{1}{n}\int_{0}^{1}u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{\frac{-1}{2}}du=B(\frac{1}{n},\frac{1}{2})$

که بنابر تعریف تابع بتا، داریم:

$\displaystyle I=\frac{1}{n}\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{n})}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})}$

که چون مقدار گاما برای یک دوم برابر با $\sqrt{\pi}$ است؛ حکم نتیجه خواهد شد.

Answer 2

حل:

به کمک تغییر متغیر $u:=x^n$ داریم:

$$u(0)=0^n=0,u(1)=1^n=1,du=nx^{n-1}dx(dx= \frac{1}{n}u^\frac{1-n}{n}du)$$

$$ \Rightarrow I:= \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{1-x^n}}dx= \frac{1}{n}\int_0^1 \frac{u^ \frac{1-n}{n}}{(1-u)^ \frac{1}{2}}du$$

$$= \frac{1}{n}\int_0^1u^{ \frac{1}{n}-1}(1-u)^{ \frac{1}{2}-1}du$$

$$= \frac{1}{n}B(\frac{1}{n}, \frac{1}{2})=\frac{1}{n}\frac{\Gamma(\frac{1}{n}).\Gamma(\frac{1}{2})}{ \Gamma(\frac{1}{n}+ \frac{1}{2})}$$

$$=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma(\frac{1}{n})}{n\Gamma(\frac{1}{n}+\frac{1}{2})} $$

$ \Box$