نقاط مرزی یک مجموعه با استفاده از خاصیت باز و بسته بودن مجموعه ها

Question

اگر A یک زیر مجموعه از فضای متری X باشد نشان دهید نقاط مرزی A برابر تهی است اگر و تنها اگر A هم باز هم بسته باشد

Comments

@002M تلاش خودتان را اشاره کنید؟ اصلا تعریف نقطه‌های مرزی؟ مجموعهٔ باز، مجموعهٔ بسته، یا اصلا توپولوژی را می‌دانید؟

Answer 1

فرض کنید $A$ هم بسته و هم باز باشد لذا متمم آن نیز چنین است پس:

$ \partial A= \bar{A} \cap \ \bar{(X-a)}=A \cap (X-A)= \emptyset$

حالا فرض کنید$ \partial A= \emptyset $:

از طرفی دیگر چون $ \partial A= \partial \bar{(X-A)} $ و $\bar{A} =A \cup \partial A$ پس:

$A= \bar{A},X-A= \bar{(X-A)} $

پس $A$ و $X-A$ هر دو بسته اند پس $A$ هم باز است هم بسته. \Box