فرض کنید $A$ هم بسته و هم باز باشد لذا متمم آن نیز چنین است پس:
$ \partial A= \bar{A} \cap \ \bar{(X-a)}=A \cap (X-A)= \emptyset$
حالا فرض کنید$ \partial A= \emptyset $:
از طرفی دیگر چون $ \partial A= \partial \bar{(X-A)} $ و $\bar{A} =A \cup \partial A$ پس:
$A= \bar{A},X-A= \bar{(X-A)} $
پس $A$ و $X-A$ هر دو بسته اند پس $A$ هم باز است هم بسته. \Box
