معادلهٔ سیالهٔ $x^2+x+y=2$ چند پاسخ طبیعی دارد؟

Question

چند دوتایی مرتبِ $(x,y)$ که $x$ و $y$ عددهای طبیعی (صحیح و مثبت) باشند وجود دارد که در برابریِ $x^2+x+y=2$ صدق کند؟

Comments

@hitvak نصف پرسش را در عنوان و نصف دیگر را در متن نمی‌نویسند! متن پرسش باید به صورت مستقل از عنوان متنی کامل باشد یعنی اینکه فرمول را در عنوان نوشته‌اید دلیلی بر این نمی‌شود که فرمول را دیگر در متن ننویسید! به ویرایشی که بر روی پست‌تان کردم نگاه کنید. بعلاوه زمانی که کاربری به پرسش‌تان پاسخ یا دیدگاه می‌دهد باید به آن واکنش نشان دهید. با زدن تیک تأیید برای تأیید پاسخ درست یا گذاشتن دیدگاه که آیا متوجه منظور کاربر قبلی شده‌اید یا هنوز چیزی برایتان مبهم است.

Answer 1

$$x^2+x+y-2=0 \Rightarrow \bigtriangleup =1-4(y-2)=-4y+9 \Rightarrow x= \frac{-1 \mp \sqrt{-4y+9} }{2}$$

باتوجه به اینکه باید $ y \leq \frac{9}{4} $ پس $y$ 1 یا 2 است. اما $y$ با توجه به رادیکال فقط 2 است و لذا $x= 0 $ یا $x=-1$ می‌شود که قابل قبول نیست. و در نتیجه معادله جوابی در اعداد طبیعی ندارد.

Answer 2

با درود. ورودتان به این محفل را تبریک میگویم. کوچکترین عدد طبیعی که برای $x,y$ میتوان بکار برد، $1,1$ است که در اینصورت حاصل $3$ میشود. پس هرجفت عدد طبیعی برایش بکار ببریم، حاصل بزرگتر از $2$ خواهد شد. بنابراین معادله دیوفانتی فوق جوابی در اعداد طبیعی ندارد.