اگر$a+b+c=0$ ثابت کنید $a^3+b^3+c^3=3abc$

Question

$a+b+c=0$اگر داشته باشیم

آنگاه ثابت کنید $$a^3+b^3+c^3=3abc$$ $a$,$b$,$c$اعداد حقیقی هستند.
باکمک اتحاد

Answer 1

$a+b=-c$

طرفین را به توان 3 می رسانیم $a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3$

به جای $a+b$ , $-c$ را قرار دهیم و با جابجایی در جملات طرفین تساوی به نتیجه میرسیم $ a^3+b^3-3abc=-c^3 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

Answer 2

اتحاد اویلر پاسخ مسئله هست: $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$واضح هست که یکی از جوابهای مسئله همان $a+b+c=0$ هستش. در ضمن صورت مسئله کمی مشکل داره به گمان، چون همانطور که گفته شد، فقط یکی از جوابهای مسئله این هست، جواب دیگه از پرانتز دوم هم میتونه باشه که فکر نمیکنم لزوما عبارت تساوی را شرط کند.

Answer 3

داریم$$(a+b+c)^3=[a+(b+c)]^3$$با بسط مکعب دو جمله ای و ساده کردن عبارت خواهیم داشت:$$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)$$از طرفی چون $$a+b+c=0$$است خواهیم داشت$$a+b=-c$$$$a+c==-b$$$$b+c=-a$$لذا خواهیم داشت$$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$که نتیجه مطلوب است