حاصل $\lim_{t\rightarrow\infty}u(\frac{\pi}{4},t)$ زمانیکه $u(x,t)$ پاسخی از معادلهدیفرانسیل $u_{tt}=u_{xx}$ صادق در یک سری شرایط مرزی است.

Question

دستگاه برابر‌های دیفرانسیل پاره‌ای (معادلات‌دیفرانسیل جزئی) با شرط‌های مرزی داده‌شدهٔ زیر را در نظر بگیرید. $$\begin{array}{l} u_{tt}=u_{xx}\\ u(x,0)=8\sin(x)\\ u_t(0,t)=0\\ u(\pi,t)=0\\ 0<x<\pi\\ t>0 \end{array}$$

مقدار زیر را بیابید. $$\lim_{t \rightarrow \infty }u( \frac{\pi}{4},t)$$