فرض کنید تعریف اول برقرار باشد یعنی یک ترتیب مانند F_{1} , F_{2} , F_{3} ,..., F_{m} موجود باشد که زیر مجتمع < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > محض و از بعد dimF_{i} -1 باشد نشان می دهیم برای هر j< i یک l \in F_{i} - F_{j} و k< i وجود دارد بطوریکه F_{i} - F_{k} =\{l\} است.
می دانیم F_{i} \cap F_{j} \subseteq F_{i} اگر \mid F_{i} \cap F_{j} \mid = \mid F_{i} \mid -1 آنگاه قرار می دهیم k=j فرض کنید که \mid F_{i} \cap F_{j} \mid < \mid F_{i} \mid -1 و از آنجایی که < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > محض است لذا \mid F_{i} \cap F_{j} \mid یک فست نیست یعنی k ای وجود دارد که \mid F_{i} \cap F_{k} \mid = \mid F_{i} \mid -1 و \mid F_{i} \cap F_{j} \mid \subseteq \mid F_{i} \cap F_{k} \mid
از آنجایی که \mid F_{i} \cap F_{k} \mid = \mid F_{i} \mid -1 لذا F_{i} - F_{k} =\{l\} یعنی l \notin F_{i} \cap F_{k} پس l \notin F_{i} \cap F_{j} یعنی
F_{j} $ l \in F_{i} $ و حکم ثابت می شود.
برگشت واضح است چون بیان میکند اگر j< i و \mid F_{i} \cap F_{j} \mid \neq \mid F_{i} \mid -1 آنگاه این عنصر در < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > فست نیست و عنصری دیگر وجود دارد که از بعد dimF_{i} -1 است و شامل \mid F_{i} \cap F_{j} نیز است لذا این زیر مجتمع محض و از بعد dimF_{i} -1 است.
