در ابتدا ما یک ترتیب مناسب برای پوسته پذیری دارم بعد جای بعضی از عناصر رو عوض می کنیم(ترتیب رو تغییر می دهیم) بعد قضیه میگوید که اگر اون تغییرات خاص رو انجام بدیم باز ترتیب مناسب برای پوسته پذیری رو داریم.
پس ما باید ثابت کنیم این ترتیب مناسب برای پوسته پذیری است برای اثبات از قضیه $8.2.8$ استفاده می کنیم یعنی ثابت می کنیم که شروط $ \alpha $ و $ \beta $ برقرار است. شرط $ \alpha $ که برقراره چون ما فقط ترتیب رو عوض کردیم و بازه ها تغییر نکرده اند(بلکه شمارشون عوض شده) پس کافیست ثابت کنیم که شرط $ \beta $ برقرار است یعنی اگر
$R( F_{i} ) \subseteq F_{j} $آنگاه $ i \leq j $ یا اگر با نماد ترتیب جدید بنویسیم باید ثابت کنیم اگر $R( F_{i _{j} } ) \subseteq F_{i _{k}} $ آنگاه $j \leq k $
برای اثبات از برهان خلف استفاده می کنیم فرض میکنیم داریم $ R( F_{r} ) \subseteq F_{s} $ ولی $r >s $( که $s $ کوچکترین عنصر با این ویژگی است) دقت کنید در ترتیب جدید هر مجموعه ای که زودتر آمده باشد دارای بعد(متعاقبا اندازه) بزرگتر است و چون $r >s $ پس در ترتیب $ F_{s} $ زودتر از $ F_{r} $ آمده است و این یعنی $ \mid F_{r} \mid \leq \mid F_{s} \mid $
اگر $R( F_{r} ) = F_{s}$ از اینکه $R( F_{r} ) \subseteq F_{r}$ نتیجه می شود که $ F_{s} \subseteq F_{r}$ و این یعنی $ \mid F_{s} \mid \leq \mid F_{r} \mid $ که تناقض است پس $R( F_{r} ) \subsetneq F_{s}$
پس $i \in F_{s} \backslash R( F_{r} ) $ وجود دارد پس داریم $R( F_{r} ) \subseteq F_{s} \backslash \{i \}$
پس طبق تعریف وجود دارد $t < s$ که $ F_{s} \backslash \{i \} \subseteq F_{t} $ پس $R( F_{r} ) \subseteq F_{s} \backslash \{i \} \subseteq F_{t}$ و
$r >s >t$ پس $ t$ در شرایط $ s $ صدق می کند و کوچکتر نیز است و این با مینیمم بودن $s $ در تناقض است.
