قضیه A.3,3 از کتاب monomial ideal هرزوگ و هیبی

Question

در قضیه A.3.3 از کتاب هرزوگ و هیبی(ص 269) نوشته شده که برای $a \in K_{i} \big(f;R\big)$، $a$ را می‌توان به صورت یکتا به فرم $a = a_{0} + a_{1} \wedge e_{m}$ نوشت که $a_{0} \in K_{i} \big(g;R\big)$ و $a_{1} \in K_{i - 1} \big(g;R\big)$. چرا؟ یعنی آیا می‌توان گفت $K_{i} \big(f;R\big) = K_{i} \big(g;R\big) \bigoplus K_{i - 1} \big(g;R\big) \wedge e_{m}$(اگر پاسخ مثبت است. چرا؟). آیا می‌توان دلیلی مشابه برای هر عضو دلخواه $K_{i} \big(f;M\big)$ که در اینجا $M$، $R$ مدول متناهی المولد است. آورد؟

Answer 1

می دانیم $K_{i} \big(f;R\big)= \wedge^{i}F$ و عناصر پایه ی آن به صورت $e_{ j_{1} } \wedge e_{ j_{2} } \wedge ... \wedge e_{ j_{i} }$ که $j_{1} < j_{2} < ... < j_{i}$ ، است.

حال عضو دلخواه $a \in K_{i} \big(f;R\big)$ را می توان به صورت ترکیب خطی از این عناصر نوشت $a= b_{1} + b_{2} +...+ b_{t}$ که در آن هر $b_{i}$ به صورت $e_{ j_{1} } \wedge e_{ j_{2} } \wedge ... \wedge e_{ j_{i} }$است.

تمام $b_{i}$ها که در آنها $e_{m}$ وجود ندارد را با $a_{0}$ نمایش میدهیم که به عضو $K_{i} \big(g;R\big)$ است.

بقیه عناصر را به صورت $a_{1} \wedge e_{m}$ می نویسیم.

مثلا اگر$e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{m}+ e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{m} + e_{1} \wedge e_{4} \wedge e_{m}$ را داشته باشیم می نویسیم: $( e_{1} \wedge e_{3}+ e_{2} \wedge e_{3} + e_{1} \wedge e_{4} ) \wedge e_{m}$

پس به وضوح $a_{1} \in K_{i - 1} \big(g;R\big)$ است.