Question

حد زیر را بیابید: $Lim(cos \sqrt{x+1}-cos \sqrt{x})$ وقتی x به مثبت بینهایت می‌رود. تلاش من:با وجود استفاده از تبدیل جمع به ضرب و اتحادهای به عدد0 نرسیدم.

Answer 1

توجه کنید که: $$lim_{x \leadsto \infty } \sqrt{x+1}- \sqrt{x} =0 $$ لذا در بی نهایت مقدار $\sqrt{x+1} $ به $\sqrt{x} $ بسیار نزدیک خواهد شد و در نتیجه $cos\sqrt{x+1} $ نیز به $cos\sqrt{x} $ بسیار نزدیک خواهد شد. بنابراین $$lim_{x \leadsto \infty } cos\sqrt{x+1}-cos \sqrt{x} =0 $$

Answer 2

نکته $$Lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) =0$$

$$cos \sqrt{x+1}-cos \sqrt{x}=-2sin( \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2} )sin( \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2} ) $$

با استفاده از نکته بالا و قضیه فشار می توان نشان داد که حد مورد نظر صفر است.