Question

نشان دهید تفاضلات تقسیم شده,خاصیت جابجایی دارند یعنی اگر $(i_0,i_1,...,i_n)$ جایگشتی از $(0,1,...,n)$ باشند آنگاه:

$$f[x_0,...,x_n]=f[x_{i_0},...,x_{i_n}]$$

Comments

این سوال خیلی ساده.ضریب x به توان n رو در چندجمله ایه لاگرانژ در نظر بگیرین با ضریب جمله x به توان n چندجمله ای درونیاب نیوتن.با توجه به منحصر به فرد بودن چندجمله ای درونیاب یه فرمول برای عبارتی که تو سوال وجود داره به دست میاد که شامل سیگماست.و این یعنی هر جایگشتی از گره ها رو در نظر بگیریم عبارت موردنظر یه چیز به ما میده.

---

میشه لطف کنید جواب رو کامل قرار بدید؟

Answer 1

$)$یک چندجمله ای از درجه $p_{n} = \sum_0^n \frac{f( x_{i} )}{ \prod_0^n ( x_{i} - x_{j} )j \neq i } x^{n} +(n-1$

برای چندجمله ای درونیاب نیوتن داریم

$)$یک چندجمله ای از درجه$p_{n} =f[ x_{0} , x_{1} ,... x_{n} ] x^{n} +(n-1$

با توجه به منحصر به فردی چندجمله ای درونیاب

$f[ x_{0} ,,\ x_{1} ,... x_{n} ]= \sum_0^n \frac{f( x_{i} )}{ \prod_0^n ( x_{i} - x_{j} )j \neq i }$ بنابراین برای هر جایگشتی از گره ها چون مجموع به ترتیب وابسته نیست یک مقدار یکسان برای تفاضلات تقسیم شده به دست می آید.