به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+2 امتیاز
1,315 بازدید
در دانشگاه توسط رها (1,177 امتیاز)
ویرایش شده توسط رها

فرض کنید $ \bigtriangleup = \big\{a=x_0 < x_1 < ,..., < x_n=b\big\} $ افرازی از بازه ی $[a,b]$ باشد و $y_0,y_1,...,y_n$ اعداد حقیقی مفروضی باشند.همچنین برای $f \epsilon k^2[a,b]$ دلخواه داشته باشیم $f(x_i)=y_i$ ,$i=0,1,...,n$.اگر $S_ \bigtriangleup (x)$ یک اسپلاین مکعبی مقید (متناوب) باشد بطوریکه $S_ \bigtriangleup (x_i)=y_i$ ,$i=0,1,...,n$ ,دراینصورت $ \| S_ \bigtriangleup \| \leq \| f \| $ یعنی:

$$ \int_a^b ( S''_ \bigtriangleup (x))^2dx \leq \int_a^b (f''(x))^2dx $$

(لازم به ذکر است:

مجموعه همه توابع حقیقی $f:[a,b] \longrightarrow R$ که $f^{(m-1)}(x)$ بر بازه $[a,b]$ مطلقا پیوسته باشد و $f^{(m)} \epsilon L^2[a,b]$ را با $K^m[a,b]$ نشان می دهیم.

همچنین مجموعه همه توابع حقیقی $f:[a,b] \longrightarrow R$ که مربع آن ها بر بازه $[a,b]$ انتگرال پذیر باشد,یعنی $ \int_a^b f^2(x) dx < \propto $ را با $L^2[a,b]$ نمایش می دهیم.)

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط رها (1,177 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

(اثبات برای حالت اسپلاین متناوب )

می دانیم که شرط اسپلاین متناوب به صورت زیر است:

$$ُS_ \triangle ^{(k)}(a)=S_ \triangle ^{(k)}(b)$$

پس:

$$ \begin{cases}S(a)=S(b) & \\S'(a)=S'(b) & \\S''(a)=S''(b) &\end{cases} $$ \ $$ \begin{cases}f(a)=f(b) & \\f'(a)=f'(b) & \end{cases} $$ از قضیه $Holladay$ داریم:

$$ \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2-2[(f'-S')S'']_a^b+2 \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i} $$

بنا بر فرض قضیه خاصیت مینیمم نرم که $f(x_i)=y_i=S(x_i)$ داریم:

$$ \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i}= \sum_i^n [(f(x_i)-S(x_i))S'''(x_i)]- \sum_i^n [(f(x_{i-1})-S(x_{i-1}))S'''(x_{i-1})]=0$$

همچنین:

$$[(f'-S')S'']_a^b=(f'(b)-S'(b))S''(b)-(f'(a)-S'(a))S''(a)=0$$

پس از قضیه $Holladay$ داریم:

$$0 \leq \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2 $$ $$ \Longrightarrow \| S \| ^2 \leq \| f \| ^2 \ \Longrightarrow \ \| S \| \leq \| f \| $$

(برای حالت اسپلاین مقید)

شرط اسپلاین مقید:

$$\begin{cases}f'(a)=S'(a) & \\f'(b)=S'(b) &\end{cases} $$

طبق بالا داریم:

$$ \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i}= \sum_i^n [(f(x_i)-S(x_i))S'''(x_i)]- \sum_i^n [(f(x_{i-1})-S(x_{i-1}))S'''(x_{i-1})]=0$$

همچنین با توجه به شرط اسپلاین مقید داریم:

$$[(f'-S')S'']_a^b=(f'(b)-S'(b))S''(b)-(f'(a)-S'(a))S''(a)=0$$

در نتیجه همانند قسمت قبل:

$$0 \leq \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2 $$ $$ \Longrightarrow \| S \| ^2 \leq \| f \| ^2 \ \Longrightarrow \ \| S \| \leq \| f \| $$

و حکم ثابت می شود.

0 امتیاز
توسط behruz (1,432 امتیاز)
نمایش از نو توسط admin

اثبات در حالت اسپلاین مکعبی مقید:

می دانیم در اسپلاین مکعبی مقید در $[a,b]$ داریم: $$S_ \bigtriangleup ^/(a)= \alpha , S_ \triangle ^/(b)= \beta $$ پس

$$S_ \bigtriangleup ^{//}(a)= 0 , S_ \triangle ^{//}(b)= 0 * $$

از طرفی بنا بر فرض سوال یعنی $f(x)=S_\bigtriangleup (x) = y_i $ داریم :$ \sum_a^b (f(x) - S_\bigtriangleup (x)) S^{///}(x) \mid _{x_i-1^+}^{x_i^-}=0 ** $

از طرفی میدانیم: $$0 \leq \parallel f-S_ \bigtriangleup \parallel ^2 = \parallel f \parallel ^2 - \parallel S_ \bigtriangleup \parallel ^2 - 2 [(f^/(x) - S_ \bigtriangleup ^/(x)).S_\bigtriangleup ^{//}(x)]_{x=a}^{x=b} + 2 \sum_a^b (f(x) - S_\bigtriangleup (x)) S^{///}(x) \mid _{x_i-1^+}^{x_i^-}$$

با جایگذاری $*$ و $**$ در رابطه فوق خواهیم داشت:

$0 \leq \parallel f-S_ \bigtriangleup \parallel ^2 = \parallel f \parallel ^2 - \parallel S_ \bigtriangleup \parallel ^2$ در نتیجه خواهیم داشت:

$$ \parallel S_ \bigtriangleup \parallel \leq \parallel f(x) \parallel $$
توسط behruz (1,432 امتیاز)
نمایش از نو توسط admin
+1
@رها
وقتی شما <math>$f^{(n)}(x)$</math> یعنی مشتق <math>$n$</math> ام تابع <math>$f$</math> را در <math>$x \in D_f$</math> حساب میکنید یعنی از هر <math>$x$</math> دلخواه متعلق به دامنه مشتق میگیرید پس در این حالت هم جواب میدهد.
توسط رها (1,177 امتیاز)
+1
@behtash
باز هم تاکید میکنم که شما دارین از مقدار تابع که ثابت هست مشتق میگیرین نه خود تابع!
منظورم اینه که برای مثال شما بازه ی $[0,1]$ رو برای تابع $f(x)=x^2$در نظر بگیرین.$f'=2x$ و $f'(0)=0$ ولی $f''(0)=2$
توسط behruz (1,432 امتیاز)
نمایش از نو توسط admin
+1
شما تابعی سراغ دارید که مشتق اول آن عددی ثابت و مشتق دوم آن صفر نشود!!!!!!!!!!
توسط رها (1,177 امتیاز)
+1
@behtash
چرا دیدگاه ها رو مخفی کردین؟!؟
دوستان دیگه با خوندن این دیدگاه ها بهتر میتونن ما رو به جواب درست راهنمایی کنن.
توسط رها (1,177 امتیاز)
+1
"مقدار" مشتق دوم در نقاط $a$و$b$ عددی ثابت شده و این به این معنا نیست که مشتق دوم,لزوما تابعی ثابت باشه!
در اسپلاین مکعبی ما در مشتق دوم,تابعی خطی(درجه یک) بدست میاریم و نه لزوما تابعی ثابت!
اینطور نیست؟؟؟
آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...