قضیه خاصیت مینیمم نرم را برای حالت اسپلاین مقید و اسپلاین متناوب اثبات کنید.

Question

فرض کنید $ \bigtriangleup = \big\{a=x_0 < x_1 < ,..., < x_n=b\big\} $ افرازی از بازه ی $[a,b]$ باشد و $y_0,y_1,...,y_n$ اعداد حقیقی مفروضی باشند.همچنین برای $f \epsilon k^2[a,b]$ دلخواه داشته باشیم $f(x_i)=y_i$ ,$i=0,1,...,n$.اگر $S_ \bigtriangleup (x)$ یک اسپلاین مکعبی مقید (متناوب) باشد بطوریکه $S_ \bigtriangleup (x_i)=y_i$ ,$i=0,1,...,n$ ,دراینصورت $ \| S_ \bigtriangleup \| \leq \| f \| $ یعنی:

$$ \int_a^b ( S''_ \bigtriangleup (x))^2dx \leq \int_a^b (f''(x))^2dx $$

(لازم به ذکر است:

مجموعه همه توابع حقیقی $f:[a,b] \longrightarrow R$ که $f^{(m-1)}(x)$ بر بازه $[a,b]$ مطلقا پیوسته باشد و $f^{(m)} \epsilon L^2[a,b]$ را با $K^m[a,b]$ نشان می دهیم.

همچنین مجموعه همه توابع حقیقی $f:[a,b] \longrightarrow R$ که مربع آن ها بر بازه $[a,b]$ انتگرال پذیر باشد,یعنی $ \int_a^b f^2(x) dx < \propto $ را با $L^2[a,b]$ نمایش می دهیم.)

Answer 1

(اثبات برای حالت اسپلاین متناوب )

می دانیم که شرط اسپلاین متناوب به صورت زیر است:

$$ُS_ \triangle ^{(k)}(a)=S_ \triangle ^{(k)}(b)$$

پس:

$$ \begin{cases}S(a)=S(b) & \\S'(a)=S'(b) & \\S''(a)=S''(b) &\end{cases} $$ \ $$ \begin{cases}f(a)=f(b) & \\f'(a)=f'(b) & \end{cases} $$ از قضیه $Holladay$ داریم:

$$ \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2-2[(f'-S')S'']_a^b+2 \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i} $$

بنا بر فرض قضیه خاصیت مینیمم نرم که $f(x_i)=y_i=S(x_i)$ داریم:

$$ \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i}= \sum_i^n [(f(x_i)-S(x_i))S'''(x_i)]- \sum_i^n [(f(x_{i-1})-S(x_{i-1}))S'''(x_{i-1})]=0$$

همچنین:

$$[(f'-S')S'']_a^b=(f'(b)-S'(b))S''(b)-(f'(a)-S'(a))S''(a)=0$$

پس از قضیه $Holladay$ داریم:

$$0 \leq \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2 $$ $$ \Longrightarrow \| S \| ^2 \leq \| f \| ^2 \ \Longrightarrow \ \| S \| \leq \| f \| $$

---

(برای حالت اسپلاین مقید)

شرط اسپلاین مقید:

$$\begin{cases}f'(a)=S'(a) & \\f'(b)=S'(b) &\end{cases} $$

طبق بالا داریم:

$$ \sum_i^n [(f-S)S''']_x^{x_i}= \sum_i^n [(f(x_i)-S(x_i))S'''(x_i)]- \sum_i^n [(f(x_{i-1})-S(x_{i-1}))S'''(x_{i-1})]=0$$

همچنین با توجه به شرط اسپلاین مقید داریم:

$$[(f'-S')S'']_a^b=(f'(b)-S'(b))S''(b)-(f'(a)-S'(a))S''(a)=0$$

در نتیجه همانند قسمت قبل:

$$0 \leq \| f-S \| ^2= \| f \| ^2- \| S \| ^2 $$ $$ \Longrightarrow \| S \| ^2 \leq \| f \| ^2 \ \Longrightarrow \ \| S \| \leq \| f \| $$

و حکم ثابت می شود.

Answer 2

اثبات در حالت اسپلاین مکعبی مقید:

می دانیم در اسپلاین مکعبی مقید در $[a,b]$ داریم: $$S_ \bigtriangleup ^/(a)= \alpha , S_ \triangle ^/(b)= \beta $$ پس

$$S_ \bigtriangleup ^{//}(a)= 0 , S_ \triangle ^{//}(b)= 0 * $$

از طرفی بنا بر فرض سوال یعنی $f(x)=S_\bigtriangleup (x) = y_i $ داریم :$ \sum_a^b (f(x) - S_\bigtriangleup (x)) S^{///}(x) \mid _{x_i-1^+}^{x_i^-}=0 ** $

از طرفی میدانیم: $$0 \leq \parallel f-S_ \bigtriangleup \parallel ^2 = \parallel f \parallel ^2 - \parallel S_ \bigtriangleup \parallel ^2 - 2 [(f^/(x) - S_ \bigtriangleup ^/(x)).S_\bigtriangleup ^{//}(x)]_{x=a}^{x=b} + 2 \sum_a^b (f(x) - S_\bigtriangleup (x)) S^{///}(x) \mid _{x_i-1^+}^{x_i^-}$$

با جایگذاری $*$ و $**$ در رابطه فوق خواهیم داشت:

$0 \leq \parallel f-S_ \bigtriangleup \parallel ^2 = \parallel f \parallel ^2 - \parallel S_ \bigtriangleup \parallel ^2$ در نتیجه خواهیم داشت:

$$ \parallel S_ \bigtriangleup \parallel \leq \parallel f(x) \parallel $$

Comments

@رها
وقتی شما <math>$f^{(n)}(x)$</math> یعنی مشتق <math>$n$</math> ام تابع <math>$f$</math> را در <math>$x \in D_f$</math> حساب میکنید یعنی از هر <math>$x$</math> دلخواه متعلق به دامنه مشتق میگیرید پس در این حالت هم جواب میدهد.

---

@behtash
باز هم تاکید میکنم که شما دارین از مقدار تابع که ثابت هست مشتق میگیرین نه خود تابع!
منظورم اینه که برای مثال شما بازه ی $[0,1]$ رو برای تابع $f(x)=x^2$در نظر بگیرین.$f'=2x$ و $f'(0)=0$ ولی $f''(0)=2$

---

شما تابعی سراغ دارید که مشتق اول آن عددی ثابت و مشتق دوم آن صفر نشود!!!!!!!!!!

---

@behtash
چرا دیدگاه ها رو مخفی کردین؟!؟
دوستان دیگه با خوندن این دیدگاه ها بهتر میتونن ما رو به جواب درست راهنمایی کنن.

---

"مقدار" مشتق دوم در نقاط $a$و$b$ عددی ثابت شده و این به این معنا نیست که مشتق دوم,لزوما تابعی ثابت باشه!
در اسپلاین مکعبی ما در مشتق دوم,تابعی خطی(درجه یک) بدست میاریم و نه لزوما تابعی ثابت!
اینطور نیست؟؟؟