فرض کنید در روش گوس سایدل $x_{i+1}^{(k)}$ مولفه k ام بردار $x_{i+1}$ برای حل $Ax=b$ باشد. قرار دهید
$$r_{i+1}^{(k)}=b_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}a_{kj}x_{i+1}^{(j)}-\sum_{j=k}^{n}a_{kj}x_{i}^{(j)}$$
نشان دهید الف) $x_{i+1}^{k}=x_{i}^{k}+\frac{r_{i+1}^{(k)}}{a_{kk}}$.
ب) اگر $e_{i}=x_{t}-x_{i}$ آن گاه $r_{i+1}^{(k)}=\sum_{j=1}^{k-1}a_{kj}e_{i+1}^{(j)}+\sum_{j=k}^{n}a_{kj}e_{i}^{(j)}$ و $e_{i+1}^{k}=e_{i}^{k}-\frac{r_{i+1}^{(k)}}{a_{kk}}$.
ج) اگر $A$ ماتریسی متقارن باشد و قرار دهیم $Q(e_{i})=e_{i}^{t}Ae_{i}$ آن گاه $Q(e_{i+1})-Q(e_{i})=-\sum_{j=1}^{n}\frac{(r_{i+1}^{(k)})^{2}}{a_{jj}}$.
الف و ب چندان دشوار نیست. برای حل قسمت ج داریم
$Q(e_{i+1})-Q(e_{i})=e_{i+1}^{t}Ae_{i+1}-e_{i}^{t}Ae_{i}=e_{i+1}^{t}r_{i+1}-e_{i}^{t}r_{i}=(e_{i+1}^{(1)}r_{i+1}^{(1)}+...+e_{i+1}^{(n)}r_{i+1}^{(n)})\hspace{3.5cm}-(e_{i}^{(1)}r_{i}^{(1)}+...+e_{i}^{(n)}r_{i}^{(n)})=-\sum_{j=1}^{n}\frac{(r_{i+1}^{(k)})^{2}}{a_{jj}}+(r_{i+1}-r_{i})^{t}e_{i}$
یک عبارت اضافه به دست میاد که اگه صفر باشه به خواسته مسئله می رسیم.
رالستون به مقاله
Van Norton, R. "The solution of linear equations by the Gauss-Seidel method." Mathematical methods of digital computers. John Wiley & Sons, Inc New York, 1959.
ارجاع داده.
