به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
146 بازدید
در دبیرستان توسط mansour (344 امتیاز)

اگر n مضرب مثبتی از ۶ باشد، آنگاه: $\binom{n}{۱}-۳ \binom{n}{۳}+۳^۲ \binom{n}{۵}-...=۰$ $ \binom{n}{1}- \frac{1}{3} \binom{n}{3}+ \frac{1}{3^2} \binom{n}{5}-...=0$

مرجع: کتاب حل مسئله از طریق مسئله تالیف لورن سی لارسن
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1
+1
@mansour زمانی که می گویید $ \binom{n}{k} $ در آن $k$ عدد صحیح نامنفی می باشد که حداکثر می تواند برابر با $n$ باشد نه بیشتر از آن!
اکنون به نظرتان دو تساوی ای که نوشتید چنین نکته ای را رعایت می کنند؟
توسط
به ازای n=6 که برقرار است. جملات مثبت و منفی از نظر اندازه برابرند و برابر ۲۰ اند.برای اثبات در حالت کلی شاید استفاده از فرمول های ترکیب و یا استقرا مفید باشد.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,258 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

قبل از هر چیز سمت چپ تساوی را $X$ بگیرید و توجه شود که ($n=6s \wedge s \in N$) و ارتباط انتخاب ها و توان $3$ در هر جمله به صورت $3^{ \frac{k-1}{2} } \binom{n}{k} $ است:

$3^{ \frac{k-1}{2} } \binom{n}{k}= \frac{1}{ \sqrt{3} } \sqrt{3} ^{k} \binom{n}{k} \Rightarrow X= \frac{1}{ \sqrt{3} } [ \binom{n}{1} \sqrt{3} - \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5-...]$

حالا اتحادهای زیر را در نظر بگیرید:

$A=(1+ \sqrt{3} i)^n= \sum _{k=0}^n \binom{n}{k} ( \sqrt{3} i)^k$

$= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} \sqrt{3} i+ \binom{n}{2} ( \sqrt{3} i)^2+ \binom{n}{3} ( \sqrt{3} i)^3+ \binom{n}{4} ( \sqrt{3} i)^4+ \binom{n}{5} ( \sqrt{3} i)^5+...$

$= \binom{n}{0} +\binom{n}{1} \sqrt{3} i- \binom{n}{2} \sqrt{3} ^2- \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3i+ \binom{n}{4} \sqrt{3} ^4+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5i-...$

$B=(1- \sqrt{3} i)^n= \sum _{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k} ( \sqrt{3} i)^k$

$= \binom{n}{0} - \binom{n}{1} \sqrt{3} i+ \binom{n}{2} ( \sqrt{3} i)^2- \binom{n}{3} ( \sqrt{3} i)^3+ \binom{n}{4} ( \sqrt{3} i)^4- \binom{n}{5} ( \sqrt{3} i)^5+...$

$= \binom{n}{0} -\binom{n}{1} \sqrt{3} i- \binom{n}{2} \sqrt{3} ^2+ \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3i+ \binom{n}{4} \sqrt{3} ^4- \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5i-...$

$ \Rightarrow A-B=2i[ \binom{n}{1} \sqrt{3} - \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5-...]=2 \sqrt{3} iX$

$ \Rightarrow X= \frac{1}{2 \sqrt{3} i} [A-B]= \frac{1}{2 \sqrt{3} i} [(1+ \sqrt{3} i)^n-(1- \sqrt{3} i)^n]$

$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)^{6s}-( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)^{6s}]$

$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i}[(Cos60+iSin60)^{6s}-(Cos60-iSin60)^{6s}]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [Cos360+iSin360)^s-(Cos360-iSin360)^s]$

$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [(1+0i)^s-(1-0i)^s]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [1-1]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} \times 0=0$

برای قسمت دوم طرفین تساوی اول را بر $3^ \frac{n-2}{2} $ تقسیم و از خواص $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $ استفاده کنید.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...