قبل از هر چیز سمت چپ تساوی را $X$ بگیرید و توجه شود که ($n=6s \wedge s \in N$) و ارتباط انتخاب ها و توان $3$ در هر جمله به صورت $3^{ \frac{k-1}{2} } \binom{n}{k} $ است:
$3^{ \frac{k-1}{2} } \binom{n}{k}= \frac{1}{ \sqrt{3} } \sqrt{3} ^{k} \binom{n}{k} \Rightarrow X= \frac{1}{ \sqrt{3} } [ \binom{n}{1} \sqrt{3} - \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5-...]$
حالا اتحادهای زیر را در نظر بگیرید:
$A=(1+ \sqrt{3} i)^n= \sum _{k=0}^n \binom{n}{k} ( \sqrt{3} i)^k$
$= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} \sqrt{3} i+ \binom{n}{2} ( \sqrt{3} i)^2+ \binom{n}{3} ( \sqrt{3} i)^3+ \binom{n}{4} ( \sqrt{3} i)^4+ \binom{n}{5} ( \sqrt{3} i)^5+...$
$= \binom{n}{0} +\binom{n}{1} \sqrt{3} i- \binom{n}{2} \sqrt{3} ^2- \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3i+ \binom{n}{4} \sqrt{3} ^4+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5i-...$
$B=(1- \sqrt{3} i)^n= \sum _{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k} ( \sqrt{3} i)^k$
$= \binom{n}{0} - \binom{n}{1} \sqrt{3} i+ \binom{n}{2} ( \sqrt{3} i)^2- \binom{n}{3} ( \sqrt{3} i)^3+ \binom{n}{4} ( \sqrt{3} i)^4- \binom{n}{5} ( \sqrt{3} i)^5+...$
$= \binom{n}{0} -\binom{n}{1} \sqrt{3} i- \binom{n}{2} \sqrt{3} ^2+ \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3i+ \binom{n}{4} \sqrt{3} ^4- \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5i-...$
$ \Rightarrow A-B=2i[ \binom{n}{1} \sqrt{3} - \binom{n}{3} \sqrt{3} ^3+ \binom{n}{5} \sqrt{3} ^5-...]=2 \sqrt{3} iX$
$ \Rightarrow X= \frac{1}{2 \sqrt{3} i} [A-B]= \frac{1}{2 \sqrt{3} i} [(1+ \sqrt{3} i)^n-(1- \sqrt{3} i)^n]$
$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)^{6s}-( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)^{6s}]$
$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i}[(Cos60+iSin60)^{6s}-(Cos60-iSin60)^{6s}]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [Cos360+iSin360)^s-(Cos360-iSin360)^s]$
$= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [(1+0i)^s-(1-0i)^s]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} [1-1]= \frac{2^n}{2 \sqrt{3} i} \times 0=0$
برای قسمت دوم طرفین تساوی اول را بر $3^ \frac{n-2}{2} $ تقسیم و از خواص $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $ استفاده کنید.
$ \Box $
