همگرایی انتگرال ناسره

Question

همگرایی انتگرال زیر را بررسی کنید

\int \frac{tdt}{ e^{ t^{2} } -1} بازه ی انتگرال صفر تا بینهایت است

Answer 1

قرار دهید:

$u=e^{t^2}-1 \Rightarrow du=2te^{t^2}dt \Rightarrow du=2t(u+1)dt \Rightarrow tdt= \frac{du}{2(u+1)} $

$\int \frac{tdt}{ e^{ t^{2} } -1}= \int \frac{du}{2u(u+1)}= \frac{1}{2} \int ( \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} )du= \frac{1}{2} (Lnu-ln(u+1))+C$

$= \frac{1}{2}Ln \frac{u}{u+1} +C+ \frac{1}{2} Ln \frac{e^{t^2}+1}{e^{t^2}} +C$

$ \Box $