به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
286 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

فرض کنید دنباله ی عددی $ \lbrace a_n\rbrace $ چنان است که به ازای هر دنباله ی همگرا به صفر مانند $ \lbrace b_n\rbrace $، سری $ \sum a_n b_n $ مطلقا همگرا است. ثابت کنید سری $ \sum a_n $ مطلقا همگرا است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

برهان خلف: فرض کنید $\sum |a_n|=\infty$ در اینصورت اگر قرار دهید $b_n=\frac 1{S_n}$ که $S_n=\sum_1^n |a_i|$در اینصورت $\sum |a_nb_n|=\sum \frac{|a_n|}{S_n}=\infty$ که با فرض مساله در تناقض است.

نکته: اگر $\sum a_n=\infty$ و $a_n> 0$ در اینصورت $\sum \frac {a_n}{S_n}=\infty$ که در آن $S_n$ دنباله مجموع های جزیی است.

اثبات نکته: (برهان خلف) فرض کنید $\sum \frac{a_n}{S_n}$ همگرا باشد. پس در شرط کوشی صدق می کند یعنی $$\exists N\in\mathbb N: K\geq 1\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}< \frac 12$$ از طرفی $$\frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}\geq \frac{a_{N+1}}{S_{N+K}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}=\frac{S_{N+K}-S_N}{S_{N+K}}=1-\frac{S_N}{S_{N+K}}$$

چون $\sum a_n=\infty$ پس $S_n\to \infty$ لذا $\lim_{k\to \infty}S_{N+K}=\infty$ یعنی $\lim_{K\to \infty}\frac{S_N}{S_{N+K}}=0$ پس $$\exists K\in \mathbb N:k\geq K\implies \frac{S_N}{S_{N+K}}< \frac 12\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}> \frac 12$$

که تناقض است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...