برهان خلف: فرض کنید $\sum |a_n|=\infty$ در اینصورت اگر قرار دهید
$b_n=\frac 1{S_n}$ که $S_n=\sum_1^n |a_i|$در اینصورت
$\sum |a_nb_n|=\sum \frac{|a_n|}{S_n}=\infty$ که با فرض مساله در تناقض است.
نکته: اگر $\sum a_n=\infty$ و $a_n> 0$ در اینصورت $\sum \frac {a_n}{S_n}=\infty$ که در آن $S_n$ دنباله مجموع های جزیی است.
اثبات نکته: (برهان خلف) فرض کنید $\sum \frac{a_n}{S_n}$ همگرا باشد. پس در شرط کوشی صدق می کند یعنی
$$\exists N\in\mathbb N: K\geq 1\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}< \frac 12$$
از طرفی
$$\frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}\geq \frac{a_{N+1}}{S_{N+K}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}=\frac{S_{N+K}-S_N}{S_{N+K}}=1-\frac{S_N}{S_{N+K}}$$
چون $\sum a_n=\infty$ پس $S_n\to \infty$ لذا $\lim_{k\to \infty}S_{N+K}=\infty$ یعنی $\lim_{K\to \infty}\frac{S_N}{S_{N+K}}=0$
پس
$$\exists K\in \mathbb N:k\geq K\implies \frac{S_N}{S_{N+K}}< \frac 12\implies \frac{a_{N+1}}{S_{N+1}}+...+\frac{a_{N+k}}{S_{N+k}}> \frac 12$$
که تناقض است.
