با درود. سؤال خوبیست. این همان اعداد متقارن (پالیندروم) است که به انگلیسی میشود palindromic number و مقاله ویکیپدیا را با همین عنوان میتوانید ببینید.
$$(1)\quad \overline{abcba}=18d$$
چون سمت راست عبارت فوق زوج است، $a$ باید زوج غیر صفر باشد. بنابراین $a={2k}$ میباشد که $k=1,2,3,4$. ازطرف دیگر چون سمت راست بر$9$ بخشپذیر است، جمع ارقام سمت چپ باید بر$9$ بخشپذیر باشد. چون مجموع ارقام با این شرایط نمیتواند بزرگتر از $43$ باشد، بنابراین برای مجموع ارقام سمت چپ $(1)$ داریم.
$$(2)\quad 4k+2b+c={9,18,27,36}$$
هر سهتایی $(k,b,c)$ که در یکی از حالتهای $(2)$ با شرایط مذکور صدق کند، جواب این مسئله است.
$$(I)\quad 4k+2b+c=9$$
$$k=1, b=0\Longrightarrow a=2,b=0,c=5$$
$$k=1, b=1\Longrightarrow a=2,b=1,c=3$$
$$k=1, b=2\Longrightarrow a=2,b=2,c=1$$
$$k=2, b=0\Longrightarrow a=4,b=0,c=1$$
$$(II)\quad 4k+2b+c=18$$
$$k=1, b=3\Longrightarrow a=2,b=3,c=8$$
$$k=1, b=4\Longrightarrow a=2,b=4,c=6$$
$$k=1, b=5\Longrightarrow a=2,b=5,c=4$$
$$k=1, b=6\Longrightarrow a=2,b=6,c=2$$
$$k=1, b=7\Longrightarrow a=2,b=7,c=0$$
$$k=2, b=1\Longrightarrow a=4,b=1,c=8$$
$$k=2, b=2\Longrightarrow a=4,b=2,c=6$$
$$k=2, b=3\Longrightarrow a=4,b=3,c=4$$
$$k=2, b=4\Longrightarrow a=4,b=4,c=2$$
$$k=2, b=5\Longrightarrow a=4,b=5,c=0$$
$$k=3, b=0\Longrightarrow a=6,b=0,c=6$$
$$k=3, b=1\Longrightarrow a=6,b=1,c=4$$
$$k=3, b=2\Longrightarrow a=6,b=2,c=2$$
$$k=3, b=3\Longrightarrow a=6,b=3,c=0$$
$$k=4, b=0\Longrightarrow a=8,b=0,c=2$$
$$k=4, b=1\Longrightarrow a=8,b=1,c=0$$
$$(III)\quad 4k+2b+c=27$$
$$k=1, b=7\Longrightarrow a=2,b=7,c=9$$
$$k=1, b=8\Longrightarrow a=2,b=8,c=7$$
$$k=1, b=9\Longrightarrow a=2,b=9,c=5$$
$$k=2, b=5\Longrightarrow a=4,b=5,c=9$$
$$k=2, b=6\Longrightarrow a=4,b=6,c=7$$
$$k=2, b=7\Longrightarrow a=4,b=7,c=5$$
$$k=2, b=8\Longrightarrow a=4,b=8,c=3$$
$$k=2, b=9\Longrightarrow a=4,b=9,c=1$$
$$k=3, b=3\Longrightarrow a=6,b=3,c=9$$
$$k=3, b=4\Longrightarrow a=6,b=4,c=7$$
$$k=3, b=5\Longrightarrow a=6,b=5,c=5$$
$$k=3, b=6\Longrightarrow a=6,b=6,c=3$$
$$k=3, b=7\Longrightarrow a=6,b=7,c=1$$
$$k=4, b=1\Longrightarrow a=8,b=1,c=9$$
$$k=4, b=2\Longrightarrow a=8,b=2,c=7$$
$$k=4, b=3\Longrightarrow a=8,b=3,c=5$$
$$k=4, b=4\Longrightarrow a=8,b=4,c=3$$
$$k=4, b=5\Longrightarrow a=8,b=5,c=1$$
$$(IV)\quad 4k+2b+c=36$$
$$k=3, b=8\Longrightarrow a=6,b=8,c=8$$
$$k=3, b=9\Longrightarrow a=6,b=9,c=6$$
$$k=4, b=6\Longrightarrow a=8,b=6,c=8$$
$$k=4, b=7\Longrightarrow a=8,b=7,c=6$$
$$k=4, b=8\Longrightarrow a=8,b=8,c=4$$
$$k=4, b=9\Longrightarrow a=8,b=9,c=2$$
با شمارش موارد فوق می بینیم که این مسئله $44$ جواب دارد. سرافراز و تندرست باشید.