چند عدد پالندریوم مضرب $18$بین $10000$و$100000$داریم؟

Question

عدد پالندریوم عددی است صحیح مثبت که از دو طرف به یک صورت خوانده می شود. چند عدد با این تعریف بین $10000$و$100000$مضرب $18$ وجود دارد.؟

Answer 1

با درود. سؤال خوبیست. این همان اعداد متقارن (پالیندروم) است که به انگلیسی میشود palindromic number و مقاله ویکیپدیا را با همین عنوان میتوانید ببینید‌. $$(1)\quad \overline{abcba}=18d$$

چون سمت راست عبارت فوق زوج است، $a$ باید زوج غیر صفر باشد. بنابراین $a={2k}$ میباشد که $k=1,2,3,4$. ازطرف دیگر چون سمت راست بر$9$ بخشپذیر است، جمع ارقام سمت چپ باید بر$9$ بخشپذیر باشد. چون مجموع ارقام با این شرایط نمیتواند بزرگتر از $43$ باشد، بنابراین برای مجموع ارقام سمت چپ $(1)$ داریم.

$$(2)\quad 4k+2b+c={9,18,27,36}$$

هر سه‌تایی $(k,b,c)$ که در یکی از حالتهای $(2)$ با شرایط مذکور صدق کند، جواب این مسئله است.

$$(I)\quad 4k+2b+c=9$$

$$k=1, b=0\Longrightarrow a=2,b=0,c=5$$ $$k=1, b=1\Longrightarrow a=2,b=1,c=3$$ $$k=1, b=2\Longrightarrow a=2,b=2,c=1$$ $$k=2, b=0\Longrightarrow a=4,b=0,c=1$$

$$(II)\quad 4k+2b+c=18$$

$$k=1, b=3\Longrightarrow a=2,b=3,c=8$$ $$k=1, b=4\Longrightarrow a=2,b=4,c=6$$ $$k=1, b=5\Longrightarrow a=2,b=5,c=4$$ $$k=1, b=6\Longrightarrow a=2,b=6,c=2$$ $$k=1, b=7\Longrightarrow a=2,b=7,c=0$$ $$k=2, b=1\Longrightarrow a=4,b=1,c=8$$ $$k=2, b=2\Longrightarrow a=4,b=2,c=6$$ $$k=2, b=3\Longrightarrow a=4,b=3,c=4$$ $$k=2, b=4\Longrightarrow a=4,b=4,c=2$$ $$k=2, b=5\Longrightarrow a=4,b=5,c=0$$ $$k=3, b=0\Longrightarrow a=6,b=0,c=6$$ $$k=3, b=1\Longrightarrow a=6,b=1,c=4$$ $$k=3, b=2\Longrightarrow a=6,b=2,c=2$$ $$k=3, b=3\Longrightarrow a=6,b=3,c=0$$ $$k=4, b=0\Longrightarrow a=8,b=0,c=2$$ $$k=4, b=1\Longrightarrow a=8,b=1,c=0$$

$$(III)\quad 4k+2b+c=27$$

$$k=1, b=7\Longrightarrow a=2,b=7,c=9$$ $$k=1, b=8\Longrightarrow a=2,b=8,c=7$$ $$k=1, b=9\Longrightarrow a=2,b=9,c=5$$ $$k=2, b=5\Longrightarrow a=4,b=5,c=9$$ $$k=2, b=6\Longrightarrow a=4,b=6,c=7$$ $$k=2, b=7\Longrightarrow a=4,b=7,c=5$$ $$k=2, b=8\Longrightarrow a=4,b=8,c=3$$ $$k=2, b=9\Longrightarrow a=4,b=9,c=1$$ $$k=3, b=3\Longrightarrow a=6,b=3,c=9$$ $$k=3, b=4\Longrightarrow a=6,b=4,c=7$$ $$k=3, b=5\Longrightarrow a=6,b=5,c=5$$ $$k=3, b=6\Longrightarrow a=6,b=6,c=3$$ $$k=3, b=7\Longrightarrow a=6,b=7,c=1$$ $$k=4, b=1\Longrightarrow a=8,b=1,c=9$$ $$k=4, b=2\Longrightarrow a=8,b=2,c=7$$ $$k=4, b=3\Longrightarrow a=8,b=3,c=5$$ $$k=4, b=4\Longrightarrow a=8,b=4,c=3$$ $$k=4, b=5\Longrightarrow a=8,b=5,c=1$$

$$(IV)\quad 4k+2b+c=36$$

$$k=3, b=8\Longrightarrow a=6,b=8,c=8$$ $$k=3, b=9\Longrightarrow a=6,b=9,c=6$$ $$k=4, b=6\Longrightarrow a=8,b=6,c=8$$ $$k=4, b=7\Longrightarrow a=8,b=7,c=6$$ $$k=4, b=8\Longrightarrow a=8,b=8,c=4$$ $$k=4, b=9\Longrightarrow a=8,b=9,c=2$$

با شمارش موارد فوق می بینیم که این مسئله $44$ جواب دارد. سرافراز و تندرست باشید.

Answer 2

با نوشتن کد به زبان های مختلف می توانید تعداد این اعداد را محاسبه کنید. کد زیر به زبان python می باشد.

def list_argham(n):
    argham=[]
    while  n >= 1:
        ragham = n % 10
        argham.append(ragham)
        n = n // 10
    return argham
tedad=0
adad=[]
for i in range(10000 , 100000):
    if i % 18 ==0:
        a= list_argham(i)
        if a[0] == a[4] and a[1] == a[3]:
            tedad+=1
            adad.append(i)
print(tedad)
print(adad)

در ابتدا تابعی تعریف کردیم که عددی را به عنوان ورودی می گیرد و تمام ارقام آن را در داخل یک لیست به عنوان خروجی می دهد. در گام بعد تمامی اعداد $5$ رقمی را که بر $18$ بخش پذیر اند را به عنوان ورودی به تابع می دهیم و در نهایت شرایط پالندریوم بودن را بررسی می کنیم. توجه کنید که خروجی یک عدد که نمایانگر تعداد این نوع اعداد و یک لیست می باشد که شامل تمامی این اعداد است.

کد زیر را هم می توانید استفاده کنید که ویژگی خوب آن این است که هم می توانید بازه اعداد و هم عددی را که برآن بخش پذیر اند را تغییر دهید.( کافیست اعداد داخل $range$ و عدد $18$ را تغییر دهید.)

tedad =0
list_numbers=[]
for i in range(10000, 100000):
    if i % 18 ==0:
        reversed_number = int(str(i)[::-1])
        if i - reversed_number ==0:
            tedad +=1
            list_numbers.append(i)
print(tedad)
print(list_numbers)

پاسخ $44$ می باشد.

Comments

@Elyas1 : بسیار عالی بود. کدنویسی کاری با تلاش فکری ارزشمند است. ۱+

---

@Elyas1 : با درود. برای اینکه مجبور نباشیم هربار جهت تغییر پارامترهای range و مضرب، متن برنامه را تغییر دهیم، میتوان تابعی با پارامترهای عددی بشکل palindrom(range1, range2, multiplier) ساخت. برای سریعتر شدن تابع حتی میتوان برنامه را طوری تنظیم کرد که اولین مضرب بین دو range را پیدا کند و سپس برای اینکه همه اعداد $5$ رقمی را طی نکند، آنها را با مضرب multiplier طی کند. بسیار عالی بود. از کمک بیدریغتان سپاسگزارم.

---

@ناصر آهنگرپور صحیح می فرمایید. همچنین برای راحت تر شدن می توان با استفاده از input() ورودی ها را خودمان بدهیم و نیاز نباشد که کد را تغییر بدهیم ولی چون قصدم بر این بود که خواننده بعد از اجرا کد نیاز به ورودی دادن نداشته باشد (در واقع تنها جواب این مسئله را مشاهده کند) از آن استفاده نکردم.

Answer 3

آقای آهنگرپور به طور کامل جواب دادن اما از آنجائیکه تعداد اهمیت داره به همان شیوه ایشان تعداد بدست می آورم. $$\quad \overline{abcba}=18d$$

چون سمت راست عبارت زوج است،پس $a$ زوج غیر صفر باشد. بنابراین $a={2k}$ می باشد که $k=1,2,3,4$. ازطرفی سمت راست بر$9$ بخشپذیر است، پس

$$\quad 4k+2b+c={9,18,27,36}$$ تعداد جواب این چهار معادله را بدست می آوریم.

$$(1)\quad 4k+2b+c=9$$

واضح است که c فرد است پس کافی است در این معادله به ازای هر k تعداد cرا بیابیم برای k=1. تعداد c برابر 3 می باشه، برای k=2 تعداد c برابر 1 می باشه.در نتیجه مجموع تعداد انتخاب c در این معادله برابر4 می باشه $$3+1=4$$

$$(2)\quad 4k+2b+c=18$$

در این حالت واضح است که c زوج است. تعداد انتخاب c به چهار مقدار k بستگی داره با انتخاب k مقدار 1، 2، 3 و 4 به ترتیب تعداد c برابر 5,5, 4, 2 می باشه پس تعداد انتخاب برابر 16 می باشه $$5+5+4+2=16 $$

$$(3)\quad 4k+2b+c=27$$

در این حالت واضح است که c فرد است. تعداد انتخاب c به چهار مقدار k بستگی داره با انتخاب k مقدار 1، 2، 3 و 4 به ترتیب تعداد c برابر 3، 5، 5، 5 می باشه پس تعداد انتخاب برابر 18 می باشه $$5+5+5+3=18$$

$$(4)\quad 4k+2b+c=36$$

در این حالت واضح است که c زوج است. تعداد انتخاب c به چهار مقدار k بستگی داره با انتخاب k مقدار 1، 2، 3 و 4 به ترتیب تعداد c برابر 0, 0, 2, 4می باشه پس تعداد انتخاب برابر 6 می باشه $$0+0+2+4=6$$

بنابراین تعداد انتخاب c برابر 44 می باشه $$4+16+18+6=44$$

Comments

@amir7788 : با درود به استاد گرامی. فکر کنم در شمارش تعداد در حالتهای مجموع $9,18,27$ اشتباهی صورت گرفته. درمجموع ارقام $9$ همانگونه که ابتدای پاسختان اشاره داشتید، چون $a$ نمیتواند صفر باشد، به تبع آن $k$ هم نمیتواند صفر باشد. بنابراین در این حالت تعداد جوابها $4$ است. در مجموع ارقام $18$ تعداد جوابها $16$ است. و در مجموع ارقام $27$ تعداد جوابها $18$ است. تعداد جوابهایتان درمورد مجموع ارقام $36$ کاملاً صحیح است و برابر $6$ است. باآرزوی توفیق و تندرستی.

---

حق با آقای آهنگرپور می باشه kصفر نمی باشه ویرایش کردم امیدوارم مشکل رفع شده باشه

Answer 4

برای پیدا کردن اعداد پالیندروم مضرب 18 بین 10000 و 100000، می‌توانیم به صورت زیر عمل کنیم:

• اولین عدد پالیندروم مضرب 18 را پیدا می‌کنیم. برای این کار، ابتدا بزرگترین عددی که با 18 ضرب شده و کوچکتر از 100000 است را پیدا می‌کنیم. این عدد برابر است با 5556 (زیرا 18 × 5556 = 100008).
• حال این عدد را به ترتیب کاهش می‌دهیم و هر بار بررسی می‌کنیم که آیا عدد حاصل از ضرب 18 در آن، پالیندروم است یا نه. اگر پالیندروم بود، آن را به تعداد اعداد پالیندروم مضرب 18 اضافه می‌کنیم.

با اجرای این الگوریتم، به اعداد پالیندروم مضرب 18 زیر می‌رسیم:

• 8888 (18 × 494)
• 8338 (18 × 463)
• 7227 (18 × 401)
• 6556 (18 × 364)
• 6116 (18 × 340)

بنابراین، بین 10000 و 100000، پنج عدد پالیندروم مضرب 18 داریم.

Comments

@بی نام : با درود به همراه گرامی. اگر مقادیر $a,b,c$ که در پاسخ بنده آمده، بصورت $\overline{abcba}$ نوشته شود، مشاهده خواهد شد که، همه $44$ جواب بدست آمده متقارن و بر $18$ بخشپذیر خواهد بود. بنابراین تعداد $5$ عدد پالیندروم مضرب $18$ بین $10000,100000$ نمیتواند صحیح باشد. با آرزوی موفقیت و تندرستی.