در یک صفحهٔ شطرنجیِ ۹ در ۹ چند مربع وجود دارد؟ همینطور چند مربع ۶ در ۶ وجود دارد؟

Question

دبیر محترم ریاضی آقای الماسی پرسش زیر را داده‌اند که نمی‌دانم برای حلش چگونه اقدام کنم.

در یک صفحهٔ شطرنجیِ ۹ در ۹، چند مربع دیده می‌شود؟ همین‌طور چند مربع ۶ در ۶ در همان صفحه وجود دارد؟

Answer 1

در یک صفحه $9$در$9$ یک $1$در$1$و $2$در$2$و$3$در$3$و$4$در$4$و$5$ر$5$ و$6$در$6$ و$7$در$7$ و$8$در$8$ و$9$در$9$ وجود دارد که جمع انها $285$

Answer 2

بیایید شطرنج‌تان را در یک‌چهارمِ یکُم صفحهٔ مختصات تصویر کنید که پائین‌ترین و چپ‌ترین خانه گوشهٔ پائینِ چپش بر روی مبدأ مختصات قرار بگیرد. به هر خانه یک دوتاییِ مرتبِ $(i,j)$ نسبت دهید که $i$ شمارهٔ ستون از چپ به راست و $j$ شمارهٔ ردیف از پائین به بالا است. که البته با مختصات گوشهٔ بالای راستِ خانه نیز یکسان می‌شود. یک عدد طبیعی دلخواه از ۱ تا ۹ بگزینید و آن را ثابت بگیرید. اکنون یک مربعِ $m$ در $m$ -ِ دلخواه از این جدول بردارید. پائین‌ترین و چپ‌ترین خانهٔ این مربع را در نظر بگیرید. فرض کنید نشانه‌اش $(i_0,j_0)$ باشد. تنها یک مربعِ $m$ در $m$ داریم که پائین‌ترین و چپ‌ترین خانه‌اش، خانهٔ $(i_0,j_0)$ باشد. بعلاوه چون دست‌کم $m-1$ خانه در راستش و $m-1$ خانه در بالایش قرار دارند (و گر نه تناقض با مربعِ $m$ در $m$تان دارد) پس باید $i_0\leq 9-m+1$ و همینطور $j_0\leq 9-m+1$. از طرف دیگر، هر $(i,j)$‌ای که در دو نابرابریِ $i\leq 9-m+1$ و $j\leq 9-m+1$ صدق کند بردارید یک مربعِ $m$ در $m$ با آن و خانه‌های $m$ سطر و ستون خودش و راست و بالایش می‌توانید بسازید که این خانه پائین‌ترین و چپ‌ترین عضوش باشد.

پس یک تناظر یک به یک (تابع یک به یک و پوشا) بین مجموعهٔ مربع‌های $m$تایی و مجموعهٔ خانه‌های با نشانهٔ $(i,j)$ که در دو نابرابری صدق کنند ایجاد کردیم. پس باید تعداد اعضای این دو مجموعه برابر باشد (عدد اصلی مجموعهٔ متناهی، تعداد اعضایش است). در نتیجه تعداد اعضای مجموعهٔ زیر را می‌خواهید.

$$\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2\mid 1\leq i,j\leq 9-m+1\rbrace$$

که خیلی ساده برابر است با $(9-m+1)^2$ یا می‌توانید اینگونه بگوئید $\binom{9-m+1}{1}\binom{9-m+1}{1}$. پس پاسخ بخش نخست پرسش‌تان می‌شود:

$$\sum_{m=1}^9(9-m+1)^2=285$$

پاسخ بخش دوم پرسش‌تان نیز می‌شود:

$$(9-6+1)^2=16$$