به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
123 بازدید
در دبیرستان توسط Amir Hossein (541 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein

دبیر محترم ریاضی آقای الماسی پرسش زیر را داده‌اند که نمی‌دانم برای حلش چگونه اقدام کنم.

در یک صفحهٔ شطرنجیِ ۹ در ۹، چند مربع دیده می‌شود؟ همین‌طور چند مربع ۶ در ۶ در همان صفحه وجود دارد؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط stss (130 امتیاز)

در یک صفحه $9$در$9$ یک $1$در$1 $و $2$در$2 $و$3$در$3 $و$4$در$4 $و$5$ر$5$ و$6$در$6$ و$7$در$7$ و$8$در$8$ و$9$در$9$ وجود دارد که جمع انها $285 $

+2 امتیاز
قبل توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)

بیایید شطرنج‌تان را در یک‌چهارمِ یکُم صفحهٔ مختصات تصویر کنید که پائین‌ترین و چپ‌ترین خانه گوشهٔ پائینِ چپش بر روی مبدأ مختصات قرار بگیرد. به هر خانه یک دوتاییِ مرتبِ $(i,j)$ نسبت دهید که $i$ شمارهٔ ستون از چپ به راست و $j$ شمارهٔ ردیف از پائین به بالا است. که البته با مختصات گوشهٔ بالای راستِ خانه نیز یکسان می‌شود. یک عدد طبیعی دلخواه از ۱ تا ۹ بگزینید و آن را ثابت بگیرید. اکنون یک مربعِ $m$ در $m$ -ِ دلخواه از این جدول بردارید. پائین‌ترین و چپ‌ترین خانهٔ این مربع را در نظر بگیرید. فرض کنید نشانه‌اش $(i_0,j_0)$ باشد. تنها یک مربعِ $m$ در $m$ داریم که پائین‌ترین و چپ‌ترین خانه‌اش، خانهٔ $(i_0,j_0)$ باشد. بعلاوه چون دست‌کم $m-1$ خانه در راستش و $m-1$ خانه در بالایش قرار دارند (و گر نه تناقض با مربعِ $m$ در $m$تان دارد) پس باید $i_0\leq 9-m+1$ و همینطور $j_0\leq 9-m+1$. از طرف دیگر، هر $(i,j)$‌ای که در دو نابرابریِ $i\leq 9-m+1$ و $j\leq 9-m+1$ صدق کند بردارید یک مربعِ $m$ در $m$ با آن و خانه‌های $m$ سطر و ستون خودش و راست و بالایش می‌توانید بسازید که این خانه پائین‌ترین و چپ‌ترین عضوش باشد.

پس یک تناظر یک به یک (تابع یک به یک و پوشا) بین مجموعهٔ مربع‌های $m$تایی و مجموعهٔ خانه‌های با نشانهٔ $(i,j)$ که در دو نابرابری صدق کنند ایجاد کردیم. پس باید تعداد اعضای این دو مجموعه برابر باشد (عدد اصلی مجموعهٔ متناهی، تعداد اعضایش است). در نتیجه تعداد اعضای مجموعهٔ زیر را می‌خواهید.

$$\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2\mid 1\leq i,j\leq 9-m+1\rbrace$$

که خیلی ساده برابر است با $(9-m+1)^2$ یا می‌توانید اینگونه بگوئید $\binom{9-m+1}{1}\binom{9-m+1}{1}$. پس پاسخ بخش نخست پرسش‌تان می‌شود:

$$\sum_{m=1}^9(9-m+1)^2=285$$

پاسخ بخش دوم پرسش‌تان نیز می‌شود:

$$(9-6+1)^2=16$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...