Question

شهری ۴ نفر تعمیرکار تلویزیون دارد.اگر چهار دستگاه تلویزیون خراب باشند (نامتمایز) .با چه احتمالی به دقیقا ۲ تعمیر کار مراجعه میشود؟

Answer 1

می دانیم که تعداد حالات قرار دادن $k$ مهره یکسان در $n$ جعبه (مکان) برابر است با $\binom{n+k-1}{n-1}=\binom{n+k-1}{k} $.

حالا تلویزیونها را $4$ مهره یکسان بگیرید (برای تعمیرکار مهم نیست که میره تعمیرگاه) و تعمیرگاهها را جعبه بگیرید.بدون محدودیت تعداد حالات برابر است با $n(S)= \binom{4+4-1}{4} = \binom{7}{4} $.

برای تعداد حالات خواسته شده در مسأله اول باید $2$ جعبه ار $4$ را برای این کار انتخاب کنیم که تعداد حالات برابر است با $ \binom{4}{2} $ سپس در هرکدام یک مهره می گذاریم که خالی نمانند که که این کار برای هر کدام با $1$ روش انجام می شود سپس دو مهره باقیمانده را در این دو جعبه می گذاریم که این کار با $ \binom{2+2-1}{1} = \binom{3}{1} $ حالت امکان دارد.لذا طبق اصل ضرب تعداد حالات خواسته شده برابر است با $ \binom{4}{2} \times 1 \times 1 \times \binom{3}{1} $ پس:

$p(A)= \frac{ \binom{4}{2} \times 1 \times 1 \times \binom{3}{1} }{ \binom{7}{4} }= \frac{18}{35} $

$ \Box $