حد زیر را بیابید: $ \lim_{n\to \infty }((1+1/ n^{2})(1+2^2/n^2)(1+3^2/n^2)...(1+n^2/n^2))^(1/n) $

Question

حد زیر را بیابید: $$ \lim_{n\to \infty }((1+1/ n^{2})(1+2^2/n^2)(1+3^2/n^2)...(1+n^2/n^2))^ \frac{1}{n} $$ به نظر میرسد با به توان رساندن تک تک جملات مسئله قابل حل باشد.

Answer 1

$A(n)=Ln( \prod(1+( \frac{k}{n} )^2 )^ \frac{1}{n})= \frac{1}{n} \sum (1+( \frac{k}{n} )^2) \Rightarrow $

$lim_{n\to \infty } A(n)=∫_0^1(1+ x^{2} )dx= \frac{4}{3} \Rightarrow$

$lim_{n\to \infty }\prod (1+( \frac{k}{n} )^2)^ \frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty } e^{A(n)}=e^ \frac{4}{3}$