Question

حد زیر را بیابید: $$ \lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{1+x}dx=? $$ انتگرال را بر حسب n محاسبه سپس حد بگیریم؟

Answer 1

با تغییر متغیر $u=x^n$ داریم:

$u=x^n \Rightarrow du=nx^{n-1}xd,x=u^ \frac{1}{n} $

حالا توجه کنید که برای دنباله توابع $f_n(u)=\frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}}$ در $[0,1]$ داریم:

$|f_n(u)|=| \frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}}|=\frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}} \leq1$

پس $f_n$ به صورت یکنواخت به تابع ثابت $f(x)= \frac{1}{2} $ همگراست و چون سری و تابع حد انتگرال پذیرند (؟) می توان انتگرال و حد را جابجا کرد.

$ \Rightarrow \lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{nx^{n-1}}{1+x} dx$

$= \lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{1}{1+u^ \frac{1}{n} }$

$= \int _0^1 \frac{1}{2} du= \frac{1}{2} $

$ \Box$

Comments

$$0  <   x \leq 1: \frac{n x^{n-1} }{2}  \leq  \frac{n x^{n-1} }{1+x}  \leq  \frac{n x^{n-1} }{2x}   \wedge 2 \leq n: \int_0^1  \frac{n x^{n-1} }{2} dx \leq  \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{1+x} dx \leq  \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{2} dx \Longrightarrow  \frac{1}{2}  \leq  \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{1+x} dx \leq  \frac{n}{2(n-1)} \Longrightarrow  \lim_{n\to  \infty }   \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{1+x} = \frac{1}{2} $$
نتیجه گیری آخر بر اساس قضیه فشار است.