Question

مطلوب است محاسبه حد زیر:

$$\lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{n x^{n-1} }{1+x}dx$$

$$\Longrightarrow 1+x=u \Longrightarrow dx=du, x^{n-1}= (u-1)^{n-1}$$

Comments

سلام.
این سوال تکراری است.

Answer 1

با تغییر متغیر $u=x^n$ داریم:

$u=x^n \Rightarrow du=nx^{n-1}xd,x=u^ \frac{1}{n}$

حالا توجه کنید که برای دنباله توابع $f_n(u)=\frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}}$ در $[0,1]$ داریم:

$|f_n(u)|=| \frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}}|=\frac{1}{1+u^ \frac{1}{n}} \leq1$

پس $f_n$ به صورت یکنواخت به تابع $f(u)= \frac{1}{2},u \in (0,1],f(0)=1$ همگراست و چون سری و تابع حد انتگرال پذیرند (؟) می توان انتگرال و حد را جابجا کرد.

$\Rightarrow \lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{nx^{n-1}}{1+x} dx$

$= \lim_{n\to \infty } \int _0^1 \frac{1}{1+u^ \frac{1}{n} }du$

$= \int _0^1 f(u) du= \frac{1}{2}$(چرا؟)

$\Box$