ایده ای برای حل:
$Li_s(x):= \sum _{k=1}^ \infty \frac{x^k}{k^s} $
$ \Rightarrow \int _0^1Li_3(-x)dx= \int _{-1}^0Li_3(x)dx= \int _{-1}^0\sum _{k=1}^ \infty \frac{x^k}{k^s} =\sum _{k=1}^ \infty \int _{-1}^0\frac{x^k}{k^s}dx= \frac{(-1)^k(k+1)}{k^3} $
این مقدار با تغیرات و محاسباتی جزئی در گاما $2$ و $3$ به دست می آید.از طرفی دیگر با تغییر متغیر
$u:=arctan(x)$
داریم:
$ \int _0^1x^2arctan^2(x)dx= \int _0^ \frac{ \pi }{4}u^2. tan^2(u).(1+tan^2(u))du$
این انتگرال هم با جزء به جزء و کاهش توانها حل می شود.
$ \Box $
