Question

مطلوب است محاسبه: $$ \int _0^1(Li_3(-x)+ x^{2} Arctan ^{2} x)dx$$ پاسخ شامل توابع زتا و ثابت G است. $$ \frac{-4}{3} \zeta (3)+ \frac{5}{48} \pi ^{2}- \frac{ \pi }{6} + \frac{G}{3}- \frac{ \pi ln2}{12} -2ln(2)+ \frac{4}{3} $$

Answer 1

ایده ای برای حل:

$Li_s(x):= \sum _{k=1}^ \infty \frac{x^k}{k^s} $

$ \Rightarrow \int _0^1Li_3(-x)dx= \int _{-1}^0Li_3(x)dx= \int _{-1}^0\sum _{k=1}^ \infty \frac{x^k}{k^s} =\sum _{k=1}^ \infty \int _{-1}^0\frac{x^k}{k^s}dx= \frac{(-1)^k(k+1)}{k^3} $

این مقدار با تغیرات و محاسباتی جزئی در گاما $2$ و $3$ به دست می آید.از طرفی دیگر با تغییر متغیر

$u:=arctan(x)$

داریم:

$ \int _0^1x^2arctan^2(x)dx= \int _0^ \frac{ \pi }{4}u^2. tan^2(u).(1+tan^2(u))du$

این انتگرال هم با جزء به جزء و کاهش توانها حل می شود.

$ \Box $

Comments

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=3303494559588530567